Encontre a soma das seguintes séries:
sumn=1^+infty 1n(n+1)(R: 1)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=1^+infty 1n(n+1)
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar a técnica de frações parciais para telescopar a soma.

Passo 2

Começamos decompondo o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
1n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) temos
1 = A(n+1) + Bn = (A+B),n + A
Comparando coeficientes de n e termos constantes, obtemos
A + B = 0, A = 1 ;Longrightarrow; A=1,;B=-1
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1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N l(1n - 1n+1r)
Ao escrever os primeiros termos, vemos o “efeito telescópico”:
SN = l(1 - tfrac12r) + l(tfrac12 - tfrac13r) + l(tfrac13 - tfrac14r) + cdots + l(tfrac1N - tfrac1N+1r)
Quase tudo se cancela, sobrando
SN = 1 - 1N+1

Passo 4

Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite quando Nto+infty:
sumn=1^+infty 1n(n+1) = limNto+infty SN = limNto+inftyl(1 - tfrac1N+1r) = 1

Resposta

A soma da série é 1.

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