Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor distância entre o ponto (1,3,0) e o plano 4 x+2 y-z=5

Passo 1

O enunciado pede a menor distância do ponto (1,3,0) ao plano definido por 4x+2y-z=5. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para minimizar a função distância ao quadrado
f(x,y,z)=(x-1)^2 + (y-3)^2 + z^2
sujeita à restrição
g(x,y,z)=4x+2y-z-5=0

Passo 2

Calculamos os gradientes
nabla f = l(2(x-1),,2(y-3),,2zr),
nabla g = (4,,2,,-1)
O método de Lagrange exige
nabla f = lambda ,nabla g,
ou seja
2(x-1)=4lambda, 2(y-3)=2lambda, 2z=-lambda

Passo 3

Dessas igualdades isolamos x,y,z em função de lambda:
x-1=2lambdaRightarrow x=1+2lambda,
y-3=lambdaRightarrow y=3+lambda,
2z=-lambdaRightarrow z=-tfraclambda2

Passo 4

Agora impomos a restrição 4x+2y-z=5. Substituindo as expressões acima:
4(1+2lambda)+2(3+lambda)-l(-tfraclambda2r)=5
Isso dá
4+8lambda+6+2lambda+tfraclambda2=5 Longrightarrow 10 + tfrac212lambda = 5 Longrightarrow lambda = -tfrac1021

Passo 5

Com lambda=-tfrac1021 obtemos o ponto de projeção:
x = 1 + 2l(-tfrac1021r)=tfrac121, y = 3 - tfrac1021=tfrac5321, z = -tfrac12l(-tfrac1021r)=tfrac521
A menor distância é
d = raiz(x-1)^2+(y-3)^2+z^2 = raiz400+100+25441 = 5raiz2121

Resposta

d = 5raiz2121

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