Julgue, e justifique, se cada uma das séries abaixo, são convergentes ou divergentes.
sumn=1^+infty e^-2 n(R : converge)

Passo 1

O enunciado pede para julgar se a série
sumn=1^+inftye^-2n
é convergente ou divergente.
O conteúdo envolvido é o de séries infinitas, em particular o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Observamos que
e^-2n = (e^-2)^n,
portanto a série pode ser reescrita como
sumn=1^+infty(e^-2)^n,
ou seja, é uma série geométrica de razão r=e^-2.

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica
sumn=1^+inftyr^n
converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui
r = e^-2 e 0<e^-2<1
já que e^-2approx0,1353.

Passo 4

Como lvert e^-2rvert<1, concluímos que a série
sumn=1^+inftye^-2n
é convergente.

Resposta

A série sumn=1^+inftye^-2n é convergente.

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