Ache um valor mínimo relativo de f, sujeito ao vínculo indicado. Suponha que um valor mínimo relativo exista.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 com vínculo x y z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor mínimo relativo da função f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 , com a condição de que x cdot y cdot z = 1 . Isso está relacionado à matéria de Otimização com Restrições, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. Quando queremos minimizar uma função f(x, y, z) sujeita a uma restrição g(x, y, z) = 0 , criamos uma nova função chamada Lagrangiana:
L(x, y, z, lambda) = f(x, y, z) - lambda cdot g(x, y, z)
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

No nosso caso, a função f é x^2 + y^2 + z^2 e a restrição g(x, y, z) = x cdot y cdot z - 1 = 0 . Então, a Lagrangiana fica:
L(x, y, z, lambda) = x^2 + y^2 + z^2 - lambda (x cdot y cdot z - 1)

Passo 4

Agora, vamos achar os pontos onde as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a x , y , z e lambda são zero. Ou seja, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
partial Lpartial x = 0 partial Lpartial y = 0 partial Lpartial z = 0 partial Lpartial lambda = 0

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a x :
partial Lpartial x = 2x - lambda y z = 0
  1. Derivada em relação a y :
partial Lpartial y = 2y - lambda x z = 0
  1. Derivada em relação a z :
partial Lpartial z = 2z - lambda x y = 0
  1. Derivada em relação a lambda :
partial Lpartial lambda = -(x y z - 1) = 0 Rightarrow x y z = 1

Passo 6

Agora, temos o sistema:
2x - lambda y z = 0 2y - lambda x z = 0 2z - lambda x y = 0 x y z = 1
Vamos tentar expressar lambda de cada uma das três primeiras equações:
  1. De 2x = lambda y z :
lambda = 2xy z
  1. De 2y = lambda x z :
lambda = 2yx z
  1. De 2z = lambda x y :
lambda = 2zx y

Passo 7

Igualando as expressões para lambda :
2xy z = 2yx z = 2zx y
Podemos simplificar cancelando os 2:
xy z = yx z = zx y

Passo 8

Vamos igualar os dois primeiros termos:
xy z = yx z
Multiplicando ambos os lados por y z x z para eliminar os denominadores:
x cdot x z = y cdot y z Rightarrow x^2 = y^2
Isso implica que x = y ou x = -y . Como estamos buscando mínimos e nossos produtos envolvem x y z = 1 , vamos considerar x = y .

Passo 9

De maneira similar, igualando o primeiro e o terceiro termos:
xy z = zx y
Multiplicando ambos os lados por y z x y :
x cdot x y = z cdot y z Rightarrow x^2 = z^2
Ou seja, x = z ou x = -z . Novamente, consideramos x = z .

Passo 10

Então, temos que x = y = z . Vamos substituir isso na restrição x y z = 1 :
x cdot x cdot x = x^3 = 1 Rightarrow x = 1
Portanto, x = y = z = 1 .

Passo 11

Agora, vamos calcular o valor mínimo da função f nesse ponto:
f(1, 1, 1) = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3

Resposta

O valor mínimo relativo de f sujeito ao vínculo x y z = 1 é 3 .

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