Ache um valor mínimo relativo de , sujeito ao vínculo indicado. Suponha que um valor mínimo relativo exista. com vínculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor mínimo relativo da função , com a condição de que . Isso está relacionado à matéria de Otimização com Restrições, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. Quando queremos minimizar uma função sujeita a uma restrição , criamos uma nova função chamada Lagrangiana:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
No nosso caso, a função é e a restrição . Então, a Lagrangiana fica:
Passo 4
Agora, vamos achar os pontos onde as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a , , e são zero. Ou seja, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada em relação a x :
partial Lpartial x = 2x - lambda y z = 0
Derivada em relação a y :
partial Lpartial y = 2y - lambda x z = 0
Derivada em relação a z :
partial Lpartial z = 2z - lambda x y = 0
Derivada em relação a lambda :
partial Lpartial lambda = -(x y z - 1) = 0 Rightarrow x y z = 1
Passo 6
Agora, temos o sistema:
2x - lambda y z = 0 2y - lambda x z = 0 2z - lambda x y = 0 x y z = 1
Vamos tentar expressar lambda de cada uma das três primeiras equações:
De 2x = lambda y z :
lambda = 2xy z
De 2y = lambda x z :
lambda = 2yx z
De 2z = lambda x y :
lambda = 2zx y
Passo 7
Igualando as expressões para lambda :
2xy z = 2yx z = 2zx y
Podemos simplificar cancelando os 2:
xy z = yx z = zx y
Passo 8
Vamos igualar os dois primeiros termos:
xy z = yx z
Multiplicando ambos os lados por y z x z para eliminar os denominadores:
x cdot x z = y cdot y z Rightarrow x^2 = y^2
Isso implica que x = y ou x = -y . Como estamos buscando mínimos e nossos produtos envolvem x y z = 1 , vamos considerar x = y .
Passo 9
De maneira similar, igualando o primeiro e o terceiro termos:
xy z = zx y
Multiplicando ambos os lados por y z x y :
x cdot x y = z cdot y z Rightarrow x^2 = z^2
Ou seja, x = z ou x = -z . Novamente, consideramos x = z .
Passo 10
Então, temos que x = y = z . Vamos substituir isso na restrição x y z = 1 :
x cdot x cdot x = x^3 = 1 Rightarrow x = 1
Portanto, x = y = z = 1 .
Passo 11
Agora, vamos calcular o valor mínimo da função f nesse ponto:
f(1, 1, 1) = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3
Resposta
O valor mínimo relativo de f sujeito ao vínculo x y z = 1 é 3 .