Julgue, e justifique, se cada uma das séries abaixo, são convergentes ou divergentes.
sumn=1^+infty 7(2+5 n)^n ( R : converge)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^+infty 7(2+5n)^n,
e pede que a gente decida se ela converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Raiz de Cauchy para séries numéricas, que diz que, se
L = limntoinfty raiz[n]|an|
existe e L<1, então a série sum an converge absolutamente.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Raiz à nossa série, tomando
an = 7(2+5n)^n
Calculamos
raiz[n]|an| = raiz[n]7(2+5n)^n = raiz[n]72+5n
Como raiz[n]7to1 quando ntoinfty e 2+5ntoinfty, obtemos
L = limntoinfty raiz[n]72+5n = 1infty = 0

Passo 3

Como L=0<1, o Teste da Raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 7(2+5n)^n converge.

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