Encontre a soma das seguintes séries:
51.2+52.3+53.4+ldots+5n(n+1)+ldots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=1^infty 5n(n+1)
O conteúdo principal aqui é a técnica de série telescópica, que usa frações parciais para decompor o termo genérico.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
1n(n+1)
Procuramos constantes A e B tais que
1n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando em cruz,
1 = A(n+1) + Bn = (A+B)n + A
Comparando coeficientes em n e termo livre, obtemos
A+B = 0, A = 1 Longrightarrow A=1,;B=-1
Logo,
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 3

Substituindo na série original, o termo geral vira
5n(n+1) = 5l(1n - 1n+1r)
A soma parcial até N é
SN = sumn=1^N 5l(1n - 1n+1r)
Ao expandir, percebe-se o cancelamento telescópico:
SN = 5l((1-tfrac12) + (tfrac12-tfrac13) + cdots + (tfrac1N-tfrac1N+1)r)

Passo 4

Depois do cancelamento resta apenas
SN = 5l(1 - 1N+1r)
Agora tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinfty SN = 5l(1 - limNtoinftytfrac1N+1r) = 5cdot1 = 5

Resposta

A soma da série é 5.

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