Encontre uma equação e esboce o gráfico da curva de nível da função f(x, y) que passa pelo ponto dado.
f(x, y)=raizx+y^2-3, (3,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da curva de nível da função f(x, y) = raizx + y^2 - 3 que passa pelo ponto (3, -1) . Isso está na matéria de curvas de nível, onde a gente analisa como a função se comporta para diferentes valores constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto dado (3, -1) . Substituindo x = 3 e y = -1 na função:
f(3, -1) = raiz3 + (-1)^2 - 3 = raiz3 + 1 - 3 = raiz1 = 1
Então, o valor de f nesse ponto é 1.

Passo 3

Agora, sabemos que uma curva de nível é o conjunto de pontos (x, y) onde a função f(x, y) é constante. No nosso caso, essa constante é 1. Então, a equação da curva de nível é:
raizx + y^2 - 3 = 1

Passo 4

Vamos resolver essa equação para achar uma forma mais simples da curva. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x + y^2 - 3 = 1^2 x + y^2 - 3 = 1 x + y^2 = 4 x = 4 - y^2
Então, a equação da curva de nível é x = 4 - y^2 .

Resposta

A equação da curva de nível que passa pelo ponto (3, -1) é:
x = 4 - y^2
O gráfico dessa curva é uma parábola aberta para a esquerda, com o vértice no ponto (4, 0) .

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