Ache o valor das untegrais
\int \frac{16}{x \cdot\left(x^{2}+4\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função racional
\frac{16}{x\,(x^{2}+4)^{2}}
ou seja,
\int \frac{16}{x\,(x^{2}+4)^{2}}\,dx.
O conteúdo é integração de funções racionais; vamos usar decomposição em frações parciais e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
\frac{16}{x\,(x^{2}+4)^{2}} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}+\frac{Dx+E}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x\,(x^{2}+4)^{2}\) e igualando polinômios: \[16 = A\,(x^{2}+4)^{2} + (Bx+C)\,x\,(x^{2}+4)+(Dx+E)\,x.
Expandindo e coletando coeficientes de x^{4},x^{3},x^{2},x,1, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\ C = 0,\\\\ 8A + 4B + D = 0,\\\\ 4C + E = 0,\\\\ 16A = 16. \end{cases}
Da última equação vem A=1\]. Logo \(B=-1, C=0 e de 8\cdot1+4\cdot(-1)+D=0 segue D=-4. De 4C+E=0 temos E=0.

Passo 4

Substituindo na decomposição,
\frac{16}{x\,(x^{2}+4)^{2}} =\frac{1}{x} -\frac{x}{x^{2}+4} -\frac{4x}{(x^{2}+4)^{2}}.
Assim
\int \frac{16}{x\,(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\int \frac{1}{x}\,dx -\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx -4\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx.

Passo 5

  1. \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.
  2. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx, use u=x^{2}+4, du=2x\,dx:
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx =\tfrac12\int \frac{du}{u} =\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+4\bigr).
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx, com u=x^{2}+4, du=2x\,dx:
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\tfrac12\int u^{-2}\,du =-\frac{1}{2u} =-\frac{1}{2(x^{2}+4)}.
Multiplicando por -4 \displaystyle 2/(x^{2}+4).
Juntando tudo:
\int \frac{16}{x\,(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\ln\lvert x\rvert -\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) +\frac{2}{x^{2}+4} + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{16}{x\,(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\ln\lvert x\rvert -\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) +\frac{2}{x^{2}+4} + C.}

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