resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\left(e^{x}+e^{-x}\right) \frac{d y}{d x}=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)\,\frac{dy}{dx}=y^{2}
por separação de variáveis. Este é um problema de equações diferenciais de primeira ordem e variáveis separáveis: devemos colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro, para depois integrar.

Passo 2

Isolamos \frac{dy}{dx} e separamos as variáveis:
\frac{dy}{dx} =\frac{y^{2}}{e^{x}+e^{-x}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}} =\frac{dx}{\,e^{x}+e^{-x}\,}.

Passo 3

Integramos o lado esquerdo em y:
\int \frac{dy}{y^{2}} =\int y^{-2}\,dy =-\frac{1}{y} + C_{1}.

Passo 4

Integramos o lado direito em x. Note que
e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x,
então
\int \frac{dx}{\,e^{x}+e^{-x}\,} =\int \frac{dx}{2\operatorname{cosh} x} =\frac{1}{2}\int \sech x\,dx.
Sabemos que
\int \sech x\,dx =\arctan\bigl(\operatorname{sinh} x\bigr) + C_{2}.
Logo
\int \frac{dx}{\,e^{x}+e^{-x}\,} =\frac{1}{2}\,\arctan\bigl(\operatorname{sinh} x\bigr) + C_{2}.

Passo 5

Igualamos as duas integrais (absorvendo constantes):
-\frac{1}{y} =\frac{1}{2}\,\arctan\bigl(\operatorname{sinh} x\bigr) + C,
onde C=C_{2}-C_{1} é a constante geral.

Passo 6

Isolamos y:
\frac{1}{y} =-\frac{1}{2}\,\arctan\bigl(\operatorname{sinh} x\bigr) - C \quad\Longrightarrow\quad y(x) =\frac{1}{-\,\frac{1}{2}\,\arctan\bigl(\operatorname{sinh} x\bigr)-C}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) =\frac{1}{-\,\tfrac{1}{2}\,\arctan\bigl(\operatorname{sinh} x\bigr)-C},
onde C é a constante arbitrária de integração.

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