Avalie a integral de superfície ∫∫_S F ⋅ dS para o campo vetorial dado F e a superfície orientada S. Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
F(x, y, z)=x y i+4 x^{2} j+y z k, S é a superfície z=x e^{y}, 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1, com orientação ascendente

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=x y\,\mathbf{i}+4x^{2}\,\mathbf{j}+y z\,\mathbf{k} através da superfície S definida por
z = x e^{y},\quad 0\le x\le1,\;0\le y\le1,
com orientação ascendente (normal apontando para cima). Vamos usar o parâmetro (x,y) e a fórmula da integral de superfície de um campo vetorial sobre um gráfico z=f(x,y),
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{D}\mathbf{F}(x,y,f(x,y))\cdot \bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr)\,dA.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;x e^{y}\bigr),\quad (x,y)\in D=[0,1]\times[0,1].
Então as derivadas parciais são
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(x e^{y})=e^{y}, \qquad f_y=\frac{\partial}{\partial y}(x e^{y})=x e^{y}.
O vetor normal orientado para cima é
\mathbf{n}\,dA =\bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr)\,dx\,dy =\bigl(-e^{y},\,-x e^{y},\,1\bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Em cada ponto da superfície temos z=x e^{y}, logo
\mathbf{F}(x,y,z) =\bigl(xy,\;4x^{2},\;y\,(x e^{y})\bigr) =\bigl(xy,\;4x^{2},\;x y e^{y}\bigr).

Passo 4

O produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} fica
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =xy\bigl(-e^{y}\bigr)+4x^{2}\bigl(-x e^{y}\bigr)+x y e^{y}\,\cdot1 =-xy e^{y}-4x^{3}e^{y}+xy e^{y} =-4x^{3}e^{y}.

Passo 5

A integral de superfície é então
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(-4x^{3}e^{y}\bigr)\,dy\,dx =-4\int_{0}^{1}x^{3}\,dx\;\int_{0}^{1}e^{y}\,dy.

Passo 6

Calculando separadamente,
\int_{0}^{1}x^{3}\,dx=\frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{1}e^{y}\,dy=e-1.
Logo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =-4\cdot\frac{1}{4}\,(e-1)=-(e-1)=1-e.

Resposta

\displaystyle 1-e

Exercícios relacionados