Avalie a integral de superfície ∫∫_S F ⋅ dS para o campo vetorial dado F e a superfície orientada S. Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
F(x, y, z)=x y i+4 x^{2} j+y z k, S é a superfície z=x e^{y}, 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1, com orientação ascendente
F(x, y, z)=x y i+4 x^{2} j+y z k, S é a superfície z=x e^{y}, 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1, com orientação ascendente
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
definida por
com orientação ascendente (normal apontando para cima). Vamos usar o parâmetro
e a fórmula da integral de superfície de um campo vetorial sobre um gráfico
,
Passo 2
Parametrizamos
por
Então as derivadas parciais são
O vetor normal orientado para cima é
Passo 3
Em cada ponto da superfície temos
, logo
Passo 4
O produto escalar
fica
Passo 5
A integral de superfície é então
Passo 6
Calculando separadamente,
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