4- Ache os valores de alpha e beta tais que f seja derivável em 2 se
f(x)= alpha x+beta & , x<2 2 x^2-1 & , x >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de alpha e beta para que a função f(x) seja derivável em x = 2. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, além de entender como calcular limites e derivadas. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, para a função ser derivável em x = 2, ela precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 2.
Vamos escrever isso:
limx to 2^- f(x) = f(2)
Como f(x) = alpha x + beta para x < 2 e f(x) = 2x^2 - 1 para x >= 2, temos:
alpha cdot 2 + beta = 2 cdot (2)^2 - 1
Calculando o lado direito:
2 cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7
Então, a equação fica:
2alpha + beta = 7 (Equação 1) çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em x = 2. Para isso, as derivadas pela esquerda e pela direita em x = 2 devem ser iguais.
Calculando a derivada de cada parte:
  • Para x < 2, f(x) = alpha x + beta, então f'(x) = alpha.
  • Para x >= 2, f(x) = 2x^2 - 1, então f'(x) = 4x.
No ponto x = 2:
f'direita(2) = 4 cdot 2 = 8
Como a derivada pela esquerda é alpha, temos:
alpha = 8 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora que já temos alpha = 8, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar beta:
2 cdot 8 + beta = 7
16 + beta = 7
beta = 7 - 16
beta = -9

Resposta

Os valores são alpha = 8 e beta = -9.

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