Considere a função
g(x, y)=ll (x^2+y^2) cdot sen(1x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
Determine partial gpartial x e \frac{\partial g}{\partial y} Prove, usando a definição de diferenciabilidade, que çãg é diferenciável em éá(0,0).

Passo 1

Bora resumir: a função é
g(x,y)= (x^2+y^2),sin!l(tfrac1x^2+y^2r),&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
O que a gente quer:
  1. Calcular as derivadas parciais partial gpartial x e partial gpartial y (tanto para (x,y)neq(0,0) quanto em (0,0)).
  2. Provar que g é diferenciável em (0,0) usando a definição (ou seja, mostrar que o “resto” dividido pela norma raizx^2+y^2 vai a zero).
O que vamos usar:
  • Definição de derivada parcial ( limhto0g(x+h,y)-g(x,y)h).
  • Regras de derivação (produto e cadeia).
  • Definição de diferenciabilidade (aproximação linear com resto pequeno).

Passo 2

Primeiro, para (x,y)neq(0,0) deixa r^2=x^2+y^2. Então
g(x,y)=r^2sinl(1/r^2r)
Usa a regra do produto pra derivar em x:
partial gpartial x =partial(r^2)partial x,sinl(1/r^2r) + r^2;partialpartial xl[sinl(1/r^2r)r]
  1. partial(r^2)partial x=2x.
  2. Pra ddxsin(1/r^2) usamos cadeia:
ddxsin(u)=cos(u),u', u=1/r^2=(r^2)^-1 ;Longrightarrow; u'=-1,(r^2)^-2cdot2x=-2xr^4
Logo
partialpartial xl[sin(1/r^2)r] =cos(1/r^2),l(-tfrac2xr^4r) =-2x,cos(1/r^2)r^4
Substituindo tudo:
partial gpartial x =2xsin(1/r^2) +r^2l(-tfrac2xcos(1/r^2)r^4r) =2xsin(1/r^2)-2x,cos(1/r^2)r^2
Voltando a x^2+y^2:
partial gpartial x(x,y) =2xsin!l(tfrac1x^2+y^2r) -2xcos!l(tfrac1x^2+y^2r)x^2+y^2
De modo idêntico,
partial gpartial y(x,y) =2ysin!l(tfrac1x^2+y^2r) -2ycos!l(tfrac1x^2+y^2r)x^2+y^2, (x,y)neq(0,0)

Passo 3

Agora as parciais em (0,0) pela definição:
partial gpartial x(0,0) =limhto0g(h,0)-g(0,0)h =limhto0h^2sin(1/h^2)h =limhto0hsin(1/h^2)
Como |sin(1/h^2)|<=1, esse limite é 0. Logo partialx g(0,0)=0.
Analogamente partialy g(0,0)=0.

Passo 4

Pra diferenciabilidade em (0,0) usamos a definição: g é diferenciável se
lim(x,y)to(0,0) g(x,y)-g(0,0)-gx(0,0)x-gy(0,0)y raizx^2+y^2=0
Aqui g(0,0)=0, gx(0,0)=0, gy(0,0)=0, então o numerador é
g(x,y)=r^2sin(1/r^2), r=raizx^2+y^2
Divide por r:
r^2sin(1/r^2)r =rsin(1/r^2),
e l|rsin(1/r^2)r|<= rto0. Pronto, o limite é zero e g é diferenciável em (0,0).

Resposta

partial gpartial x(x,y)= 2xsin!l(tfrac1x^2+y^2r) -2xcos!l(tfrac1x^2+y^2r)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0), partial gpartial y(x,y)= 2ysin!l(tfrac1x^2+y^2r) -2ycos!l(tfrac1x^2+y^2r)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
E, pela definição de diferenciabilidade, concluímos que g é diferenciável em (0,0).

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