Considere a função
Determine
partial gpartial x e \frac{\partial g}{\partial y}
Prove, usando a definição de diferenciabilidade, que ç ã g
é diferenciável em é á (0,0).
Passo 1
Bora resumir: a função é
O que a gente quer:
- Calcular as derivadas parciais
epartial gpartial x (tanto parapartial gpartial y quanto em(x,y)neq(0,0) ).(0,0) - Provar que
é diferenciável emg usando a definição (ou seja, mostrar que o “resto” dividido pela norma(0,0) vai a zero).raizx^2+y^2
O que vamos usar:
- Definição de derivada parcial (
).limhto0g(x+h,y)-g(x,y)h - Regras de derivação (produto e cadeia).
- Definição de diferenciabilidade (aproximação linear com resto pequeno).
Passo 2
Primeiro, para
(x,y)neq(0,0) deixa
r^2=x^2+y^2 . Então
Usa a regra do produto pra derivar em
x :
-
.partial(r^2)partial x=2x - Pra
usamos cadeia:ddxsin(1/r^2)
Logo
Substituindo tudo:
Voltando a
x^2+y^2 :
De modo idêntico,
Passo 3
Agora as parciais em
(0,0) pela definição:
Como
|sin(1/h^2)|<=1 , esse limite é
0 . Logo
partialx g(0,0)=0 .
Analogamentepartialy g(0,0)=0 .
Analogamente
Passo 4
Pra diferenciabilidade em
(0,0) usamos a definição:
g é diferenciável se
Aqui
g(0,0)=0 ,
gx(0,0)=0 ,
gy(0,0)=0 , então o numerador é
Divide por
r :
e
l|rsin(1/r^2)r|<= rto0 . Pronto, o limite é zero e
g é diferenciável em
(0,0) .
Resposta
E, pela definição de diferenciabilidade, concluímos que
g é diferenciável em
(0,0) .