Seja
. Calcule
Do resultado obtido desse limite, pode-se afirmar que
é diferenciável na origem?
Passo 1
O enunciado diz: seja
e queremos calcular
Isso cai direto na matéria de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para testar se
é diferenciável num ponto a gente:
- calcula as derivadas parciais (pra montar a parte linear),
- expande
, - vê como o resto se comporta em relação à norma
.
Passo 2
Primeiro, as derivadas parciais de
em um ponto genérico
são
Isso significa que a aproximação linear (o “diferencial”) de
em
é
Agora definimos o resto
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro expande:
Então
Logo o quociente do enunciado vira
Passo 4
Para ver o limite, note que
Como
(h,k)to(0,0) implica
hto0 , isso mostra que
Na definição de diferenciabilidade, a gente pede justamente que
Aqui funcionou, portanto
f é diferenciável em qualquer ponto
(x,y) . Em particular, na origem
(0,0) também.
Resposta
O valor do limite é
0 . Logo,
f é diferenciável na origem.