Seja f(x, y)=x^2+y. Calcule
lim (h, k) (0,0) f(x+h, y+k)-f(x, y)-2 x h-k|h, k|
Do resultado obtido desse limite, pode-se afirmar que f é diferenciável na origem?

Passo 1

O enunciado diz: seja
f(x,y)=x^2+y,
e queremos calcular
lim(h,k)to(0,0)f(x+h,y+k)-f(x,y)-2xh-k|(h,k)|
Isso cai direto na matéria de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para testar se f é diferenciável num ponto a gente:
  1. calcula as derivadas parciais (pra montar a parte linear),
  2. expande f(x+h,y+k),
  3. vê como o resto se comporta em relação à norma |(h,k)|.

Passo 2

Primeiro, as derivadas parciais de f em um ponto genérico (x,y) são
fx(x,y)=partialpartial x(x^2+y)=2x, fy(x,y)=partialpartial y(x^2+y)=1
Isso significa que a aproximação linear (o “diferencial”) de f em (x,y) é
L(h,k)=fx(x,y),h + fy(x,y),k = 2x,h + 1cdot k =2xh + k
Agora definimos o resto
R(h,k)=f(x+h,y+k)-f(x,y)-L(h,k)

Passo 3

Vamos calcular R(h,k). Primeiro expande:
f(x+h,y+k) = (x+h)^2 + (y+k) = x^2 + 2xh + h^2 + y + k
Então
R(h,k) = l[x^2 + 2xh + h^2 + y + kr] - l[x^2 + yr] - l[2xh + kr] = h^2
Logo o quociente do enunciado vira
R(h,k)|(h,k)| = h^2raizh^2 + k^2

Passo 4

Para ver o limite, note que
l|h^2raizh^2+k^2r| = |h|;|h|raizh^2+k^2 <= |h|;cdot 1 =|h|
Como (h,k)to(0,0) implica hto0, isso mostra que
h^2raizh^2+k^2;longrightarrow;0
Na definição de diferenciabilidade, a gente pede justamente que
R(h,k)|(h,k)|to0
Aqui funcionou, portanto f é diferenciável em qualquer ponto (x,y). Em particular, na origem (0,0) também.

Resposta

O valor do limite é 0. Logo, f é diferenciável na origem.

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