Discuta se é possível encontrar um valor para a constante de modo que a função seja contínua em . \n
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida por partes e o exercício quer saber se dá pra escolher um valor para a constante C de forma que a função seja contínua em todo o conjunto dos números reais. Ou seja, a gente vai trabalhar com o conceito de continuidade de funções, que basicamente significa que o gráfico da função pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel. Para resolver isso, vamos precisar analisar os limites da função nos pontos onde ela muda de expressão, que são x = 2 e x = -2 .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade da função em x = 2 . A função é definida de três formas:
Para |x| < 2 : g(x) = x - 2|x^2 - 4|
Para |x| = 2 : g(x) = C
Para |x| > 2 : g(x) = |x + 2|x^2 + 4
No ponto x = 2 , precisamos que o limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda seja igual ao limite quando x se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais a C .
Passo 3
Vamos calcular os limites:
Lado esquerdo ( x to 2^- ):
Aqui, usamos a expressão para |x| < 2 :
limx to 2^- x - 2|x^2 - 4|
Sabemos que x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Para x próximo de 2, x + 2 é positivo (já que 2 + 2 = 4 ), então: