Discuta se é possível encontrar um valor para a constante C de modo que a função seja contínua em (-infty,+infty).
g(x)=cccx-2|x^2-4| & , |x|<2 C & , |x|=2 |x+2|x^2+4 & , |x|>2\n

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por partes e o exercício quer saber se dá pra escolher um valor para a constante C de forma que a função seja contínua em todo o conjunto dos números reais. Ou seja, a gente vai trabalhar com o conceito de continuidade de funções, que basicamente significa que o gráfico da função pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel. Para resolver isso, vamos precisar analisar os limites da função nos pontos onde ela muda de expressão, que são x = 2 e x = -2 .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade da função em x = 2 . A função é definida de três formas:
  • Para |x| < 2 : g(x) = x - 2|x^2 - 4|
  • Para |x| = 2 : g(x) = C
  • Para |x| > 2 : g(x) = |x + 2|x^2 + 4
No ponto x = 2 , precisamos que o limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda seja igual ao limite quando x se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais a C .

Passo 3

Vamos calcular os limites:
Lado esquerdo ( x to 2^- ):
Aqui, usamos a expressão para |x| < 2 :
limx to 2^- x - 2|x^2 - 4|
Sabemos que x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Para x próximo de 2, x + 2 é positivo (já que 2 + 2 = 4 ), então:
|x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)| = |x - 2||x + 2| = (2 - x)(x + 2)
Portanto:
limx to 2^- x - 2(2 - x)(x + 2) = limx to 2^- -(2 - x)(2 - x)(x + 2) = limx to 2^- -1x + 2 = -14 = -14
Lado direito ( x to 2^+ ):
Aqui, usamos a expressão para |x| > 2 :
limx to 2^+ |x + 2|x^2 + 4 = |2 + 2|2^2 + 4 = 48 = 12

Passo 4

Para que a função seja contínua em x = 2 , os limites pelos dois lados devem ser iguais e também iguais a C . Ou seja:
-14 = C = 12
Isso não é possível, porque -14 neq 12. Portanto, não existe um valor de C que torne a função contínua em x = 2 .

Resposta

Não existe nenhum valor de C que torne a função contínua em todo o conjunto dos números reais.

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