Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
2) sumk=0^infty(-1)^k 1k^23,

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=0^infty(-1)^k1k^tfrac23
e, caso ela convirja, decidir se é convergência absoluta ou condicional.
Conteúdo envolvido: séries alternadas (critério de Leibniz) e séries do tipo p-série.

Passo 2

Primeiro, observamos que em k=0 o termo tfrac1k^2/3 não está definido. O usual é começar a soma em k=1. Assim, consideramos
sumk=1^infty(-1)^k1k^tfrac23
Definimos ak = tfrac1k^2/3. Note que ak>0, que ak+1<ak (a sequência é monótona decrescente) e que
limktoinftyak = limktoinfty1k^2/3 = 0

Passo 3

Pelo critério de Leibniz para séries alternadas, se ak é decrescente e tende a zero, então
sumk=1^infty(-1)^k,ak
converge. Portanto, a nossa série converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, analisamos a série de termos positivos:
sumk=1^inftyl|(-1)^k1k^tfrac23r| =sumk=1^infty1k^tfrac23
Trata-se de uma p-série com p=tfrac23. Como p<=1, essa p-série diverge.

Passo 5

Concluímos que a série original converge, mas não de forma absoluta. Logo, a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (convergência não absoluta).

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