Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
2) ,
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, caso ela convirja, decidir se é convergência absoluta ou condicional.
Conteúdo envolvido: séries alternadas (critério de Leibniz) e séries do tipo p-série.
Passo 2
Primeiro, observamos que em o termo não está definido. O usual é começar a soma em . Assim, consideramos
Definimos . Note que , que (a sequência é monótona decrescente) e que
Passo 3
Pelo critério de Leibniz para séries alternadas, se é decrescente e tende a zero, então
converge. Portanto, a nossa série converge.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, analisamos a série de termos positivos:
Trata-se de uma p-série com p=tfrac23. Como p<=1, essa p-série diverge.
Passo 5
Concluímos que a série original converge, mas não de forma absoluta. Logo, a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (convergência não absoluta).