Ache os valores aproximados para:
raiz[3]70;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de raiz[3]70. Vamos usar a definição de raiz cúbica e técnicas de aproximação numérica (linearização e método de Newton) para chegar a uma boa estimativa.

Passo 2

Primeiro achamos um intervalo inteiro onde a raiz está:
4^3 = 64 < 70 < 125 = 5^3
Logo
4 < raiz[3]70 < 5

Passo 3

Fazemos uma aproximação linear em torno de x0=4. Defina
f(x)=x^3-70, f'(x)=3x^2
Em x0=4 temos
f(4)=64-70=-6, f'(4)=3cdot4^2=48
Pela fórmula da reta-tangente, o incremento é
De<a x approx -f(4)f'(4) = --648 = 0,125,
então a primeira estimativa é
x1 = 4 + 0,125 = 4,125

Passo 4

Para refinar, aplicamos uma iteração de Newton:
x2 = x1 - f(x1)f'(x1) = 4,125 - 4,125^3 - 703cdot(4,125)^2
Calculando numericamente,
4,125^2 = 17,015625, 4,125^3 approx 70,18945,
f(x1) = 70,18945 - 70 = 0,18945, f'(x1) = 3cdot17,015625 = 51,046875,
x2 approx 4,125 - 0,1894551,046875 approx 4,1213

Resposta

raiz[3]70approx 4,121

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