Demonstre que as funções seguintes não têm derivadas finitas:
y=raiz[3]x no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
y = raiz[3]x
não admite derivada finita no ponto x=0.
O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada pelo limite do quociente incremental:
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h

Passo 2

Aplique a definição de derivada em a=0. Como f(x)=raiz[3]x e f(0)=0, temos
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h =limhto0raiz[3]hh

Passo 3

Simplifique o quociente
raiz[3]hh =h^-2/3,
pois raiz[3]h=h^1/3 e, portanto, tfrach^1/3h=h^-2/3

Passo 4

Analise o limite
limhto0h^-2/3
Como h^-2/3=1/|h|^2/3, ao fazermos hto0 o denominador vai a zero e o quociente tende a +infty.

Resposta

A derivada de raiz[3]x em x=0 não existe como número finito, pois o limite do quociente incremental diverge para +infty.

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