Resolva as seguintes inequações:
(x-1)(x-2)(-x+4)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
(x-1)(x-2)(-x+4)>0
O conteúdo aqui é análise de sinais de um polinômio já fatorado: vamos encontrar as raízes (zeros) de cada fator e, em seguida, testar o sinal do produto em cada intervalo entre essas raízes.

Passo 2

Para achar as raízes, basta igualar cada fator a zero:
x-1=0implies x=1,
x-2=0implies x=2,
-x+4=0implies x=4

Passo 3

Observe que
-,x+4 = -(x-4)
Logo
(x-1)(x-2)(-x+4) = -(x-1)(x-2)(x-4)
A desigualdade original
-(x-1)(x-2)(x-4)>0
é equivalente a multiplicar ambos os lados por -1, invertendo o sinal da desigualdade:
(x-1)(x-2)(x-4)<0

Passo 4

Agora dividimos a reta real pelos pontos críticos 1, 2 e 4 e testamos o sinal de (x-1)(x-2)(x-4) em cada intervalo:
  • Para x<1 (por exemplo x=0):
    (x-1)<0,;(x-2)<0,;(x-4)<0 Rightarrow produto negativo.
  • Para 1<x<2 (por exemplo x=1,5):
    (x-1)>0,;(x-2)<0,;(x-4)<0 Rightarrow produto positivo.
  • Para 2<x<4 (por exemplo x=3):
    (x-1)>0,;(x-2)>0,;(x-4)<0 Rightarrow produto negativo.
  • Para x>4 (por exemplo x=5):
    (x-1)>0,;(x-2)>0,;(x-4)>0 Rightarrow produto positivo.
Como queremos
(x-1)(x-2)(x-4)<0,
selecionamos os intervalos em que o produto é negativo.

Passo 5

O produto é negativo quando
x<1 ou 2<x<4
Portanto, a solução da desigualdade original é
(-infty,1),cup,(2,4)

Resposta

(-infty,1)cup(2,4)

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