Ache os valores das constantes

Passo 1

O enunciado dá a função
e pede os valores de para que seja contínua em todo . Para isso usaremos o conceito de continuidade em função por partes: nos pontos de quebra e devemos ter igualdade entre os limites laterais.

Passo 2

Em x=-2 exigimos
limxto-2^-f(x)=limxto-2^+f(x)
Calculando cada lado temos
limxto-2^-(x+2c) = -2 + 2c,
limxto-2^+(3c,x+k)|x=-2 = -6c + k
Igualando:
-2 + 2c = -6c + k Longrightarrow k = -2 + 8c

Passo 3

Em x=1 exigimos
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)
Calculando cada lado:
limxto1^-(3c,x+k)|x=1 = 3c + k,
limxto1^+(3x-2k)|x=1 = 3 - 2k
Igualando:
3c + k = 3 - 2k Longrightarrow 3c + 3k = 3 Longrightarrow k = 1 - c

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
k = -2 + 8c, k = 1 - c
Igualando as duas expressões de k:
-2 + 8c = 1 - c Longrightarrow 9c = 3 Longrightarrow c = tfrac13
Substituindo em k = 1 - c:
k = 1 - tfrac13 = tfrac23

Resposta

c = tfrac13, k = tfrac23

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