Calcule a integral de superfície
integral duplaS(x^2+y+z) d S
onde S é a superfície definida pelo paralelogramo parametrizado por:
x(u, v)=u+v, y(u, v)=u-v, z(u, v)=1+u+v
com(u, v) no domínio retangular $0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície parametrizada. O conteúdo é integral de superfície via parametrização, onde precisamos obter os vetores tangentes, calcular a área elementar dS pelo módulo do produto vetorial e depois integrar a função transformada em termos dos parâmetros.

Passo 2

Escrevemos a parametrização
r(u,v) = l(x(u,v),,y(u,v),,z(u,v)r) = l(u+v,;u-v,;1+u+vr),
e calculamos os vetores tangentes
ru = partial rpartial u = (1,,1,,1), rv = partial rpartial v = (1,,-1,,1)
O produto vetorial é
ru times rv = det i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 = (2,,0,,-2),
e seu módulo determina dS:
llvert ru times rvrrvert = raiz2^2 + 0^2 + (-2)^2 = 2raiz2,
logo
dS = 2raiz2;du,dv

Passo 3

Substituímos x,y,z na função f(x,y,z)=x^2+y+z. Como x=u+v, y=u-v e z=1+u+v,
f(u,v) = (u+v)^2 + (u-v) + (1+u+v) = (u+v)^2 + 2u + 1

Passo 4

Montamos a integral dupla sobre o retângulo 0<= u<=2,;0<= v<=1:
integral duplaS(x^2+y+z),dS = integral0^2integral0^1 l((u+v)^2 + 2u + 1r),(2raiz2) ;dv,du
Fatoramos 2raiz2 para fora da integral.

Passo 5

Primeiro integramos em v:
integral0^1(u+v)^2,dv = integral0^1(u^2 + 2uv + v^2),dv = u^2 + u + tfrac13,
integral0^1(2u+1),dv = 2u+1
Somando,
integral0^1l((u+v)^2 + 2u +1r),dv = u^2 + 3u + tfrac43
Agora integramos em u:
integral0^2l(u^2 + 3u + tfrac43r),du = [tfracu^33 + tfrac3u^22 + tfrac4u3]0^2 = tfrac343
Multiplicando por 2raiz2 obtemos
2raiz2cdot tfrac343 = tfrac68raiz23

Resposta

68raiz23

Exercícios relacionados