Resolva os PVI’s (miscelânia).
l(y-x y) d x-x^2 d y=0 y(-1)=-1

Passo 1

O enunciado traz o PVI:
(y - x,y),dx - x^2,dy = 0,
com condição inicial y(-1) = -1.
Este é um PVI de equação de primeira ordem, linear em y. Para resolver, vamos escrevê-la na forma padrão
dydx + p(x),y = 0
e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação por dx e reorganizando, obtém-se
(y - x,y) - x^2dydx = 0
x^2dydx + y,(x - 1) = 0
dydx + x - 1x^2,y = 0
Portanto p(x)=x-1x^2.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral!l(1x-1x^2r)dx = e^ln|x| + tfrac1x = |x|,e^1/x
Como usamos a região x<0 (pois x=-1 na condição), podemos escrever mu(x)=-x,e^1/x, absorvendo o sinal na constante de integração.

Passo 4

Multiplicando a EDO por mu(x) ela fica exata e leva a
mu(x),y = C Longrightarrow y = Cmu(x) = C,e^-1/xx

Passo 5

Usando y(-1)=-1:
-1 = C,e^-1/(-1)-1 = C,e^1-1 = -C,e Longrightarrow C = e^-1
Logo a solução particular é
y(x) = e^-1x,e^-1/x = e^-l(1 + 1xr)x

Resposta

y(x) = e^-l(1 + 1xr)x

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