Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
5. (y^2+y x) d x-x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(y^2+yxr),dx - x^2,dy = 0
usando uma substituição apropriada. Trata-se de uma equação do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 em que M e N são homogêneas do mesmo grau, o que sugere usar a substituição
y = v x,
onde v é função de x.

Passo 2

Verificamos a homogeneidade de M e N:
M(x,y)=y^2+xy
é homogênea de grau 2 e
N(x,y)=-x^2
também é homogênea de grau 2. Logo, a substituição y=v x é adequada.

Passo 3

Fazendo y=v x implica
dy = v,dx + x,dv
Substituindo em
(y^2+xy),dx - x^2,dy = 0
vem
l((v x)^2 + xcdot v xr),dx ;-; x^2l(v,dx + x,dvr)=0
Isto é,
x^2(v^2+v),dx - x^2 v,dx - x^3,dv = 0
e, ao agrupar termos,
x^2 v^2,dx - x^3,dv = 0

Passo 4

Dividindo por x^2 (supondo xneq0) obtemos a equação separável
v^2,dx - x,dv = 0 Longrightarrow v^2,dx = x,dv
Agora separamos variáveis:
dxx = dvv^2

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dxx = integral v^-2,dv Longrightarrow lnlvert xrvert = -1v + C
Como v=y/x, temos 1/v = x/y. Portanto a solução geral, de forma implícita, é
lnlvert xrvert + xy = C

Resposta

lnlvert xrvert + xy = C

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