Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
5.
5.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando uma substituição apropriada. Trata-se de uma equação do tipo
em que
e
são homogêneas do mesmo grau, o que sugere usar a substituição
onde
é função de
.
Passo 2
Verificamos a homogeneidade de
e
:
é homogênea de grau 2 e
também é homogênea de grau 2. Logo, a substituição
é adequada.
Passo 3
Fazendo
implica
Substituindo em
vem
Isto é,
e, ao agrupar termos,
Passo 4
Dividindo por
(supondo
) obtemos a equação separável
Agora separamos variáveis:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Como
, temos
. Portanto a solução geral, de forma implícita, é