Ache a velocidade em função do deslocamento x e a função potencial para uma partícula de massa m que inicia o movimento a partir do repouso em \mathrm{x}=0, sujeita à seguinte força.
F= F_{0} \cos (c x). Onde F_{0} e c são constantes positivas. Discuta os resultados!

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m sujeita a uma força que depende apenas da posição
F(x)=F_{0}\cos(c x)
com F_{0}>0 e c>0. A partícula parte do repouso em x=0. Precisamos achar a velocidade v em função do deslocamento x e a função potencial U(x). Para isso, vamos usar o teorema trabalho-energia e a definição de energia potencial.

Passo 2

Pelo teorema trabalho-energia, a variação da energia cinética é igual ao trabalho da força:
\Delta K = \frac12 m v^2 - 0 = \int_{0}^{x}F(x')\,dx' = \int_{0}^{x}F_{0}\cos(c x')\,dx'.
Como \displaystyle \int_{0}^{x}\cos(c x')\,dx' = \frac{1}{c}\sin(c x), obtemos
\frac12 m v^2 = \frac{F_{0}}{c}\,\sin(c x).
Logo, a velocidade em função de x é
v(x) = \sqrt{\frac{2F_{0}}{m\,c}\,\sin(c x)}.

Passo 3

A energia potencial U(x) é definida (até constante) por
U(x)-U(0) = -\int_{0}^{x}F(x')\,dx' = -\int_{0}^{x}F_{0}\cos(c x')\,dx' = -\frac{F_{0}}{c}\,\sin(c x).
Escolhendo U(0)=0, temos
U(x) = -\frac{F_{0}}{c}\,\sin(c x).

Passo 4

Analisando os resultados:
  1. A velocidade v(x) só é real enquanto \sin(c x)\ge0, isto é, para 0\le x\le \pi/c. No ponto x=\pi/c ocorre o ponto de inversão de movimento ( v=0).
  2. A função potencial U(x)=-\frac{F_{0}}{c}\sin(c x) é periódica de período 2\pi/c. Os pontos de equilíbrio surgem quando U'(x)=0, ou seja, \cos(c x)=0, em x=(2n+1)\pi/(2c). Alternam-se mínimos e máximos de U.
  3. Esse potencial descreve um poço periódico, típico de partículas em cristais ou oscilações em retículos.

Resposta

v(x)=\displaystyle \sqrt{\frac{2F_{0}}{m\,c}\,\sin(c x)}
U(x)=-\displaystyle \frac{F_{0}}{c}\,\sin(c x)

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