Uma partícula de massa 0,95 \mathrm{~kg}, está sujeita a uma força unidimensional dada por F=1,25 y^{2}, onde y está em metros e a força é dada em newtons. Sabendo que, quando a partícula está na posiçăo y=2,5 \mathrm{~m} sua velocidade é de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a energia cinética da partícula quando ela passar pela posiçăo y=7,0 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa \,m=0,95\\ \mathrm{kg} sujeita a uma força unidimensional
F(y) = 1,25\,y^2\quad(\mathrm{N}),
onde y está em metros. Quando a partícula está em y=2,5\\ \mathrm{m} sua velocidade é v_1=4,0\\ \mathrm{m/s}. Pede-se a energia cinética K_2 ao chegar em y=7,0\\ \mathrm{m}.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Trabalho–Energia: o trabalho da força sobre o deslocamento iguala a variação da energia cinética.

Passo 2

Segundo o teorema do trabalho–energia, o trabalho realizado por F(y) ao deslocar a partícula de y_1 a y_2 é
W = \int_{y_1}^{y_2} F(y)\,\mathrm{d}y
e a energia cinética final satisfaz
K_2 = K_1 + W,
onde K_1 é a energia cinética inicial em y_1.

Passo 3

Calculamos o trabalho substituindo F(y)=1,25\,y^2, y_1=2,5 e y_2=7,0:
W = \int_{2,5}^{7,0} 1,25\,y^2\,\mathrm{d}y = 1,25 \int_{2,5}^{7,0} y^2\,\mathrm{d}y = 1,25 \,\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{2,5}^{7,0}.

Passo 4

Avaliação da integral:
\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{2,5}^{7,0} = \frac{7,0^3 - 2,5^3}{3} = \frac{343 - 15{,}625}{3} = \frac{327{,}375}{3} =109{,}125.
Logo
W = 1,25 \times 109{,}125 = 136{,}40625\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Agora calculamos a energia cinética inicial:
K_1 = \tfrac12\,m\,v_1^2 = \tfrac12 \times 0,95 \times (4,0)^2 =0,475 \times 16 =7,6\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Finalmente, a energia cinética em y=7,0\\ \mathrm{m} é
K_2 = K_1 + W = 7,6 + 136{,}40625 \approx 144{,}0\\ \mathrm{J}.

Resposta

A energia cinética da partícula em y=7,0\\ \mathrm{m} é aproximadamente 144{,}0\\ \mathrm{J}.

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