Um oscilador não amortecido é acionado em sua frequência de ressonância \omega_{0} por uma força harmônica F_{0} \operatorname{sen} \omega_{0} t. As condições iniciais são x_{0}=0 e v_{0}=0. (a) Determine x(t) e (b) Se a resistência à ruptura da ‘mola’ do oscilador for 5 F_{0}, deduza uma equação a partir da qual o tempo t_{R} necessário para atingir o ponto de ruptura pode ser calculado em termos de \omega_{0}. Discuta os resultados!

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador livre (massa m e mola de constante k) sem amortecimento, sujeito a uma força externa harmônica de amplitude F_{0} e frequência \omega_{0}, exatamente a frequência de ressonância do sistema. A equação de movimento é
x''(t)+\omega_{0}^{2}\,x(t)=\frac{F_{0}}{m}\sin(\omega_{0}t),
com condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=0. Vamos (a) encontrar x(t) e (b) impor a ruptura da mola, que ocorre quando a força interna k\,x atinge 5F_{0}.

Passo 2

Para resolver
x''+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\sin(\omega_{0}t)
usamos a soma da solução homogênea
x_{h}(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)
e de uma particular. Como a força está em ressonância, a forma-tentativa é
x_{p}(t)=-\frac{F_{0}}{2\,m\,\omega_{0}}\,t\cos(\omega_{0}t).
Logo a solução geral é
x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)\;-\;\frac{F_{0}}{2\,m\,\omega_{0}}\,t\cos(\omega_{0}t).

Passo 3

Impondo x(0)=0 e x'(0)=0:
1. x(0)=A - 0 =0 \Rightarrow A=0. 2. Calculando x'(t) e avaliando em t=0 resulta em
B\,\omega_{0}-\frac{F_{0}}{2\,m\,\omega_{0}}\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{F_{0}}{2\,m\,\omega_{0}^{2}}.
Substituindo A e B na solução geral, obtemos
x(t) =\frac{F_{0}}{2\,m\,\omega_{0}^{2}}\;\sin(\omega_{0}t) \;-\;\frac{F_{0}}{2\,m\,\omega_{0}}\;t\cos(\omega_{0}t).

Passo 4

A mola rompe quando a força interna k\,x(t_{R}) atinge 5F_{0}. Como k=m\,\omega_{0}^{2}, impomos
k\,x(t_{R})=5F_{0} \quad\Longleftrightarrow\quad x(t_{R})=\frac{5F_{0}}{k} =\frac{5F_{0}}{m\,\omega_{0}^{2}}.
Substituindo a expressão de x(t) e dividindo ambos os lados por \tfrac{F_{0}}{m\,\omega_{0}^{2}}, com \tau=\omega_{0}t_{R}, resulta a equação transcendental
\frac{1}{2}\,\sin\tau \;-\;\frac{\tau}{2}\cos\tau =5 \quad\Longrightarrow\quad \sin\tau-\tau\cos\tau=10.
Discute-se que há infinitas soluções \tau_{n}, mas a primeira (menor \tau>0) dá o instante mínimo de ruptura. Para \tau grande, o termo -\tau\cos\tau domina e cresce em módulo, garantindo raízes. Uma estimativa grosseira pelo “envelope” particular mostra que a amplitude cresce como
\bigl|\tfrac{F_{0}}{2m\omega_{0}}\,t\bigr|\approx 5\,\frac{F_{0}}{k}
levando a t_{R}\approx \tfrac{10}{\omega_{0}}.

Resposta

x(t)=\frac{F_{0}}{2m\omega_{0}^{2}}\sin(\omega_{0}t)-\frac{F_{0}}{2m\omega_{0}}\,t\cos(\omega_{0}t).
O tempo de ruptura t_{R} é dado pela menor solução positiva de
\sin(\omega_{0}t_{R})-\bigl(\omega_{0}t_{R}\bigr)\cos(\omega_{0}t_{R})=10.

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