Um oscilador não amortecido é acionado em sua frequência de ressonância \omega_{0} por uma força harmônica F_{0} \operatorname{sen} \omega_{0} t. As condições iniciais são x_{0}=0 e v_{0}=0. (a) Determine x(t) e (b) Se a resistência à ruptura da ‘mola’ do oscilador for 5 F_{0}, deduza uma equação a partir da qual o tempo t_{R} necessário para atingir o ponto de ruptura pode ser calculado em termos de \omega_{0}. Discuta os resultados!
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador livre (massa m e mola de constante k) sem amortecimento, sujeito a uma força externa harmônica de amplitude F_{0} e frequência \omega_{0}, exatamente a frequência de ressonância do sistema. A equação de movimento é
Substituindo a expressão de x(t) e dividindo ambos os lados por \tfrac{F_{0}}{m\,\omega_{0}^{2}}, com \tau=\omega_{0}t_{R}, resulta a equação transcendental
Discute-se que há infinitas soluções \tau_{n}, mas a primeira (menor \tau>0) dá o instante mínimo de ruptura. Para \tau grande, o termo -\tau\cos\tau domina e cresce em módulo, garantindo raízes. Uma estimativa grosseira pelo “envelope” particular mostra que a amplitude cresce como