Determine as equações para o plano tangente e para a reta normal ao gráfico de f(x, y)=x^{2} y+e^{x^{2}+y^{2}} no ponto (1,1, f(1,1)). Finalmente, verifique que f_{x y}=f_{y x}.

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e a reta normal ao gráfico de
f(x,y)=x^{2}y+e^{x^{2}+y^{2}}
no ponto (1,1,f(1,1)), e depois quer verificar que as derivadas parciais mistas satisfazem \,f_{xy}=f_{yx}. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, equação de plano tangente a superfície z=f(x,y) e reta normal, além de diferenciação cruzada para confirmar a igualdade das mistas.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais gerais.
Para \,f_x usamos produto em x^2y e cadeia em e^{x^2+y^2}:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial x} e^{x^2+y^2} = 2xy + e^{x^2+y^2}\cdot 2x =2xy + 2x\,e^{x^2+y^2}.
Para \,f_y tratamos x^2y como x^2\cdot y e novamente cadeia em e^{x^2+y^2}:
f_y = x^2 + e^{x^2+y^2}\cdot 2y = x^2 + 2y\,e^{x^2+y^2}.

Passo 3

Avaliamo-las em (1,1) e obtemos também f(1,1):
f(1,1) = 1^2\cdot1 + e^{1+1} = 1 + e^2, \quad f_x(1,1)=2\cdot1\cdot1 + 2\cdot1\,e^2 = 2 + 2e^2, \quad f_y(1,1)=1^2 + 2\cdot1\,e^2 = 1 + 2e^2.
A equação do plano tangente a z=f(x,y) no ponto (1,1,1+e^2) é
z - (1+e^2) = (2 + 2e^2)\,(x-1) + (1 + 2e^2)\,(y-1).

Passo 4

A reta normal ao gráfico em (1,1,1+e^2) tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Como a superfície é F(x,y,z)=z-f(x,y)=0, o vetor normal é
\nabla F = (-f_x,\,-f_y,\,1),
avaliado em (1,1). Podemos usar também (f_x,f_y,-1), que é colinear a \nabla F. Assim, escolhemos a direção (2+2e^2,\;1+2e^2,\;-1) e obtemos as equações paramétricas
\begin{cases} x(t)=1+(2+2e^2)\,t,\\\ y(t)=1+(1+2e^2)\,t,\\\ z(t)=(1+e^2)-t. \end{cases}

Passo 5

Agora calculamos as derivadas mistas em geral e mostramos que coincidem.
A partir de
f_x = 2xy + 2x\,e^{x^2+y^2},
temos
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,e^{x^2+y^2}\bigr) =2x + 2x\cdot e^{x^2+y^2}\cdot 2y =2x + 4xy\,e^{x^2+y^2}.
De
f_y = x^2 + 2y\,e^{x^2+y^2},
vem
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\,e^{x^2+y^2}\bigr) =2x + 2y\cdot e^{x^2+y^2}\cdot 2x =2x + 4xy\,e^{x^2+y^2}.
Como as expressões de f_{xy} e f_{yx} coincidem, concluímos que f_{xy}=f_{yx}.

Resposta

A equação do plano tangente é
z - (1+e^2) = (2+2e^2)\,(x-1) + (1+2e^2)\,(y-1).
A reta normal tem equações paramétricas
x=1+(2+2e^2)\,t,\quad y=1+(1+2e^2)\,t,\quad z=(1+e^2)-t.
E as derivadas mistas satisfazem
f_{xy}=2x+4xy\,e^{x^2+y^2}=f_{yx}.

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