Determine as equações para o plano tangente e para a reta normal ao gráfico de f(x, y)=x^{2} y+e^{x^{2}+y^{2}} no ponto (1,1, f(1,1)). Finalmente, verifique que f_{x y}=f_{y x}.
Passo 1
O enunciado pede o plano tangente e a reta normal ao gráfico de
f(x,y)=x^{2}y+e^{x^{2}+y^{2}}
no ponto (1,1,f(1,1)), e depois quer verificar que as derivadas parciais mistas satisfazem \,f_{xy}=f_{yx}. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, equação de plano tangente a superfície z=f(x,y) e reta normal, além de diferenciação cruzada para confirmar a igualdade das mistas.
Passo 2
Calculamos primeiro as derivadas parciais gerais.
Para \,f_x usamos produto em x^2y e cadeia em e^{x^2+y^2}:
A reta normal ao gráfico em (1,1,1+e^2) tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Como a superfície é F(x,y,z)=z-f(x,y)=0, o vetor normal é
\nabla F = (-f_x,\,-f_y,\,1),
avaliado em (1,1). Podemos usar também (f_x,f_y,-1), que é colinear a \nabla F. Assim, escolhemos a direção (2+2e^2,\;1+2e^2,\;-1) e obtemos as equações paramétricas