Ache um vetor tal que v cdot(2 e1+3 e2)=6 e v times(2 e1+3 e2)=4 e3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente precisa encontrar um vetor v = a e1 + b e2 - c e3 que satisfaça duas condições:
O produto escalar v cdot (2 e1 + 3 e2) = 6.
O produto vetorial v times (2 e1 + 3 e2) = 4 e3.
Vamos precisar usar as definições de produto escalar e produto vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar do produto escalar. O produto escalar entre dois vetores a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 e b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso ao nosso caso:
v cdot (2 e1 + 3 e2) = a cdot 2 + b cdot 3 + (-c) cdot 0 = 2a + 3b = 6
Então, temos a primeira equação:
2a + 3b = 6 (1)
Passo 3
Agora, vamos para o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores a e b resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
a times b = e1 & e2 & e3 a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
No nosso caso:
v times (2 e1 + 3 e2) = e1 & e2 & e3 a & b & -c 2 & 3 & 0
Calculando o determinante:
v times (2 e1 + 3 e2) = (b cdot 0 - (-c) cdot 3)e1 - (a cdot 0 - (-c) cdot 2)e2 + (a cdot 3 - b cdot 2)e3
Simplificando:
= 3c e1 + 2c e2 + (3a - 2b) e3 = 4 e3
Isso nos dá as equações:
3c = 0 (2a)
2c = 0 (2b)
3a - 2b = 4 (2c)
Passo 4
Vamos resolver essas equações. Primeiramente, das equações (2a) e (2b), vemos que:
3c = 0 Rightarrow c = 0
2c = 0 Rightarrow c = 0
Então, já sabemos que c = 0.
Agora, vamos para a equação (1):
2a + 3b = 6
E a equação (2c):
3a - 2b = 4
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (a e b):
2a + 3b = 6 3a - 2b = 4
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vou optar pela combinação.
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de [a):
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos (b] na primeira equação original: