Mostre que
e1 times e2=e3, e2 times e3=e1 e e3 times e1=e2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o produto vetorial entre os vetores unitários e1, e2 e e3 segue certas relações. Vamos trabalhar com produto vetorial, que faz parte da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como o produto vetorial funciona e como ele se aplica aos vetores unitários no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são esses vetores e1, e2 e e3. Eles são conhecidos como vetores unitários no espaço tridimensional e geralmente representam as direções dos eixos x, y e z, respectivamente. Ou seja:
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
Esses vetores são ortogonais entre si, ou seja, formam ângulos de 90 graus entre si.

Passo 3

Agora, vamos entender o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude (ou comprimento) desse novo vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores. Além disso, a direção do vetor resultante segue a Regra da Mão Direita.
A fórmula geral para o produto vetorial entre dois vetores a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz) é:
a times b = ( ay bz - az by, az bx - ax bz, ax by - ay bx )

Passo 4

Vamos aplicar isso aos nossos vetores unitários. Primeiro, calculamos e1 times e2:
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0)
Aplicando a fórmula:
e1 times e2 = ( 0 cdot 0 - 0 cdot 1, 0 cdot 0 - 1 cdot 0, 1 cdot 1 - 0 cdot 0 ) = (0, 0, 1) = e3

Passo 5

Agora, calculamos e2 times e3:
e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
Aplicando a fórmula:
e2 times e3 = ( 1 cdot 1 - 0 cdot 0, 0 cdot 0 - 0 cdot 1, 0 cdot 0 - 1 cdot 0 ) = (1, 0, 0) = e1

Passo 6

Por fim, calculamos e3 times e1:
e3 = (0, 0, 1), e1 = (1, 0, 0)
Aplicando a fórmula:
e3 times e1 = ( 0 cdot 0 - 1 cdot 0, 1 cdot 1 - 0 cdot 0, 0 cdot 0 - 0 cdot 1 ) = (0, 1, 0) = e2

Resposta

Portanto, mostramos que:
e1 times e2 = e3, e2 times e3 = e1 e e3 times e1 = e2

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