Verifique em cada caso se os pontos são coplanares.
A=(-1,0,3), B=(-1,-2,-2), C=(1,0,2) e D=(2,4,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se os pontos A = (-1, 0, 3) , B = (-1, -2, -2) , C = (1, 0, 2) e D = (2, 4, 1) são coplanares. Coplanares significa que todos esses pontos estão no mesmo plano. Para isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para verificar se quatro pontos são coplanares, podemos usar o produto misto de três vetores formados por esses pontos. Se o produto misto for zero, os pontos são coplanares.

Passo 3

Vamos escolher um ponto como referência, digamos o ponto A . Em seguida, vamos formar três vetores a partir de A até os outros pontos:
AB = B - A = ( -1 - (-1), -2 - 0, -2 - 3 ) = (0, -2, -5)
AC = C - A = ( 1 - (-1), 0 - 0, 2 - 3 ) = (2, 0, -1)
AD = D - A = ( 2 - (-1), 4 - 0, 1 - 3 ) = (3, 4, -2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AC e AD :
AC times AD = i & j & k 2 & 0 & -1 3 & 4 & -2
Resolvendo o determinante:
AC times AD = i(0 cdot (-2) - (-1) cdot 4) - j(2 cdot (-2) - (-1) cdot 3) + k(2 cdot 4 - 0 cdot 3) = 4i + j + 8k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre AB e AC times AD :
AB cdot (AC times AD) = (0, -2, -5) cdot (4, 1, 8) = 0 cdot 4 + (-2) cdot 1 + (-5) cdot 8 = 0 - 2 - 40 = -42

Resposta

Como o produto misto resultou em -42 e não é igual a zero, os pontos não são coplanares.

Exercícios relacionados