Verifique em cada caso se os pontos são coplanares. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se os pontos , , e são coplanares. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre coplanaridade de pontos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar vetores e o produto escalar misto para verificar se o volume formado por esses pontos é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem coplanares. Quatro pontos são coplanares se eles estão todos no mesmo plano. Uma maneira de verificar isso é calcular o volume do paralelepípedo formado por três vetores que partem de um dos pontos. Se esse volume for zero, os pontos são coplanares.
Passo 3
Vamos escolher o ponto como referência e formar três vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar misto desses três vetores, que é igual ao determinante da matriz formada por eles:
Passo 5
Calculando o determinante:
-2 times ((-3)(-9) - (-6)(-4)) - (-3) times ((-7)(-9) - (-6)(-3)) + (-3) times ((-7)(-4) - (-3)(-3))
= -2 times (27 - 24) + 3 times (63 - 18) - 3 times (28 - 9)
= -2 times 3 + 3 times 45 - 3 times 19
= -6 + 135 - 57 = 72
Resposta
Como o determinante é 72 e diferente de zero, os pontos A , B , C e D não são coplanares.