Verifique em cada caso se os pontos são coplanares.
A=(1,2,3), B=(-1,-5,0), C=(-2,-1,-1) e D=(-2,-4,-6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se os pontos A=(1,2,3) , B=(-1,-5,0) , C=(-2,-1,-1) e D=(-2,-4,-6) são coplanares. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre coplanaridade de pontos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar vetores e o produto escalar misto para verificar se o volume formado por esses pontos é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem coplanares. Quatro pontos são coplanares se eles estão todos no mesmo plano. Uma maneira de verificar isso é calcular o volume do paralelepípedo formado por três vetores que partem de um dos pontos. Se esse volume for zero, os pontos são coplanares.

Passo 3

Vamos escolher o ponto A como referência e formar três vetores:
AB = B - A = (-1 - 1, -5 - 2, 0 - 3) = (-2, -7, -3)
AC = C - A = (-2 - 1, -1 - 2, -1 - 3) = (-3, -3, -4)
AD = D - A = (-2 - 1, -4 - 2, -6 - 3) = (-3, -6, -9)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar misto desses três vetores, que é igual ao determinante da matriz formada por eles:
-2 & -3 & -3 -7 & -3 & -6 -3 & -4 & -9

Passo 5

Calculando o determinante:
-2 times ((-3)(-9) - (-6)(-4)) - (-3) times ((-7)(-9) - (-6)(-3)) + (-3) times ((-7)(-4) - (-3)(-3))
= -2 times (27 - 24) + 3 times (63 - 18) - 3 times (28 - 9)
= -2 times 3 + 3 times 45 - 3 times 19
= -6 + 135 - 57 = 72

Resposta

Como o determinante é 72 e diferente de zero, os pontos A , B , C e D não são coplanares.

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