Determine os autovetores e os autovalores do operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cuja matriz na base canônica de \mathbb{R}^{2} é
[T]=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ -4 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
[T] = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[6pt] -4 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é encontrar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda e depois resolver (A-\lambda I)x=0 para obter os autovetores.]

Passo 2

Escrevemos A - \lambda I e calculamos seu determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\[4pt] -4 & 1-\lambda\end{pmatrix},
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)^2 - (-1)(-4) = (1-\lambda)^2 - 4.
Expandindo,
(1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda +1 -4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3.]

Passo 3

Resolvemos o polinômio característico
\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0.
As raízes são
\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2},
logo \lambda_1 = 3 e \lambda_2 = -1.

Passo 4

Para \lambda_1 = 3 resolvemos
(A - 3I)x = \begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] -4 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\\ x_2\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem -2x_1 - x_2 = 0, isto é x_2 = -2x_1. Um autovetor associado é, por exemplo,
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = -1 resolvemos
(A + I)x = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -4 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\\ x_2\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem 2x_1 - x_2 = 0, isto é x_2 = 2x_1. Um autovetor associado é, por exemplo,
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 2\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores são \lambda_1 = 3 e \lambda_2 = -1, com respectivos autovetores
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 2\end{pmatrix}.

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