Considere o operador T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(x+y,-y, z) e a base canônica B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} do \mathbb{R}^{3}. A matriz que representa T com relação à base B é:
Encontre uma base B^{\prime} de \mathbb{R}^{3} constituída de autovetores de T. Exiba a matriz diagonal de [T]_{B^{\prime}}.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar o operador linear
T(x,y,z) = (x+y,\,-y,\,z)
no espaço \mathbb{R}^3 com relação à base canônica B.
O objetivo é achar uma base B' de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T e exibir a matriz diagonal de T nessa nova base.
Passo 2
Vamos primeiro determinar os autovalores de T. A matriz de T na base canônica é