Considere o operador T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(x+y,-y, z) e a base canônica B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} do \mathbb{R}^{3}. A matriz que representa T com relação à base B é:
[T]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Encontre uma base B^{\prime} de \mathbb{R}^{3} constituída de autovetores de T. Exiba a matriz diagonal de [T]_{B^{\prime}}.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar o operador linear
T(x,y,z) = (x+y,\,-y,\,z)
no espaço \mathbb{R}^3 com relação à base canônica B.
O objetivo é achar uma base B' de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T e exibir a matriz diagonal de T nessa nova base.

Passo 2

Vamos primeiro determinar os autovalores de T. A matriz de T na base canônica é
A = [T]_B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\\\ 0 & -1-\lambda & 0\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^2(-1-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1\quad(\text{mult.\! }2), \qquad \lambda_2 = -1\quad(\text{mult.\! }1).

Passo 3

Agora achamos os autovetores para \lambda=1. Resolvemos
(A - I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem y=0; a segunda linha dá a mesma condição. Não há restrição sobre x e z.
Portanto o espaço próprio de \lambda=1 é
E_{1} = \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}
e podemos escolher como base de E_1 os vetores
v_1 = (1,0,0), \qquad v_2 = (0,0,1).

Passo 4

Para \lambda=-1 resolvemos
(A + I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha 2x + y = 0 (logo y = -2x) e da terceira 2z = 0 (logo z=0).
Assim o espaço próprio de \lambda=-1 é
E_{-1} = \{(x,-2x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}
e podemos tomar como gerador
v_3 = (1,-2,0).

Passo 5

Juntando os três autovetores temos uma base de \mathbb{R}^3:
B' = \bigl\{v_1=(1,0,0),\;v_2=(0,0,1),\;v_3=(1,-2,0)\bigr\}.
Na ordem (v_1,v_2,v_3) a matriz de T em B' é diagonal, com as entradas diagonais sendo os respectivos autovalores:
[T]_{B'} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

A base de autovetores é
B' = \{(1,0,0),\,(0,0,1),\,(1,-2,0)\}
e a matriz diagonal de T nessa base é
[T]_{B'} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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