Ache o volume do maior paralelepipedo que pode ser inscrito no elipsóide
, se os lados forem paralelos aos eixos coordenados.
Passo 1
O problema pede para inscrever um paralelepípedo de arestas paralelas aos eixos no elipsóide
de modo que seu volume seja máximo.
Conteúdo: otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.
Conteúdo: otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Vamos parametrizar o paralelepípedo por seus semi-eixos
, de modo que as faces estejam em
,
,
.
Então a condição de estar inscrito no elipsóide é
Então a condição de estar inscrito no elipsóide é
e o volume é
Passo 3
Como
é constante, maximizar
equivale a maximizar
sob a restrição
Pelo método de Lagrange, definimos
pois
é crescente e simplifica a conta.
Passo 4
As condições de otimalidade são
Dessas tiramos
Igualando as duas primeiras expressões:
Igualando a primeira e a terceira:
Passo 5
Substituindo
e
na restrição
, obtemos
Logo
Passo 6
O volume máximo é