Ache o volume do maior paralelepipedo que pode ser inscrito no elipsóide 36 x^2+9 y^2+4 z^2=36, se os lados forem paralelos aos eixos coordenados.

Passo 1

O problema pede para inscrever um paralelepípedo de arestas paralelas aos eixos no elipsóide
36x^2+9y^2+4z^2=36
de modo que seu volume seja máximo.
Conteúdo: otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Vamos parametrizar o paralelepípedo por seus semi-eixos a,b,c>0, de modo que as faces estejam em x=pm a, y=pm b, z=pm c.
Então a condição de estar inscrito no elipsóide é
36a^2+9b^2+4c^2=36
e o volume é
V = (2a)(2b)(2c) = 8,a b c

Passo 3

Como 8 é constante, maximizar V equivale a maximizar f(a,b,c)=a b c sob a restrição
g(a,b,c)=36a^2+9b^2+4c^2-36=0
Pelo método de Lagrange, definimos
L(a,b,c,lambda)=ln a + ln b + ln c + lambdal(36a^2+9b^2+4c^2-36r),
pois ln é crescente e simplifica a conta.

Passo 4

As condições de otimalidade são
partialLpartial a: 1a + lambdacdot72a =0, partialLpartial b: 1b + lambdacdot18b =0, partialLpartial c: 1c + lambdacdot8c =0
Dessas tiramos
lambda = -172a^2 = -118b^2 = -18c^2
Igualando as duas primeiras expressões:
172a^2=118b^2 Longrightarrow 72a^2=18b^2 Longrightarrow b^2=4a^2 Longrightarrow b=2a
Igualando a primeira e a terceira:
172a^2=18c^2 Longrightarrow 72a^2=8c^2 Longrightarrow c^2=9a^2 Longrightarrow c=3a

Passo 5

Substituindo b=2a e c=3a na restrição 36a^2+9b^2+4c^2=36, obtemos
36a^2+9(2a)^2+4(3a)^2 =36a^2+36a^2+36a^2 =108a^2 =36 Longrightarrow a^2=13 Longrightarrow a=1raiz3
Logo
b=2a=2raiz3, c=3a=raiz3

Passo 6

O volume máximo é
Vmax=8,a b c =8cdot1raiz3cdot2raiz3cdotraiz3 =8cdot2raiz33 =16raiz33

Resposta

Vmax=16raiz33

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