Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em seus respectivos domínios.
Passo 1
Resumo do exercício: A gente precisa mostrar que a função
é diferenciável no seu domínio. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
O que é diferenciabilidade: Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais em relação a
e
nesse ponto, e se essas derivadas são contínuas perto desse ponto. Basicamente, a função precisa ser “suave”, sem quebras ou cantos no domínio.
Passo 3
Analisando a função
: Vamos ver os componentes de
:
- Funções trigonométricas: As funções
e são diferenciáveis para todo e porque são suaves e sem quebras. - Combinações lineares: Aqui, temos
e , que são combinações lineares de e . Funções lineares são diferenciáveis. - Elevação ao quadrado: As potências
e também mantêm a diferenciabilidade, já que elevar a uma potência é uma operação diferenciável.
Passo 4
Produto de funções diferenciáveis: A função
é o produto de duas funções diferenciáveis:
e
. Uma propriedade importante é que o produto de funções diferenciáveis continua diferenciável.
Passo 5
Derivadas parciais contínuas: Vamos calcular as derivadas parciais de
para garantir que elas existem e são contínuas:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Essas derivadas são compostas por funções trigonométricas e polinomiais, que são contínuas em todo o domínio.
Resposta
Portanto, a função
é diferenciável em todo o seu domínio.