Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em seus respectivos domínios.
f(x, y)=4 sen^2(x+y) cos ^2(x-y)

Passo 1

Resumo do exercício: A gente precisa mostrar que a função f(x, y) = 4 sin^2(x + y) cos^2(x - y) é diferenciável no seu domínio. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

O que é diferenciabilidade: Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais em relação a x e y nesse ponto, e se essas derivadas são contínuas perto desse ponto. Basicamente, a função precisa ser “suave”, sem quebras ou cantos no domínio.

Passo 3

Analisando a função f(x, y) : Vamos ver os componentes de f(x, y) = 4 sin^2(x + y) cos^2(x - y) :
  • Funções trigonométricas: As funções sin(u) e cos(v) são diferenciáveis para todo u e v porque são suaves e sem quebras.
  • Combinações lineares: Aqui, temos u = x + y e v = x - y , que são combinações lineares de x e y . Funções lineares são diferenciáveis.
  • Elevação ao quadrado: As potências sin^2(x + y) e cos^2(x - y) também mantêm a diferenciabilidade, já que elevar a uma potência é uma operação diferenciável.

Passo 4

Produto de funções diferenciáveis: A função f(x, y) é o produto de duas funções diferenciáveis: 4 sin^2(x + y) e cos^2(x - y) . Uma propriedade importante é que o produto de funções diferenciáveis continua diferenciável.

Passo 5

Derivadas parciais contínuas: Vamos calcular as derivadas parciais de f para garantir que elas existem e são contínuas:
  • Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = 4 cdot 2 sin(x + y) cos(x + y) cdot cos^2(x - y) - 4 sin^2(x + y) cdot 2 cos(x - y) sin(x - y)
  • Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = 4 cdot 2 sin(x + y) cos(x + y) cdot cos^2(x - y) + 4 sin^2(x + y) cdot 2 cos(x - y) sin(x - y)
Essas derivadas são compostas por funções trigonométricas e polinomiais, que são contínuas em todo o domínio.

Resposta

Portanto, a função f(x, y) = 4 sin^2(x + y) cos^2(x - y) é diferenciável em todo o seu domínio.

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