Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
(1, 11 cdot 3, 11 cdot 3 cdot 5, 11 cdot 3 cdot 5 cdot 7, cdots)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o termo geral an da sequência
l(1,;11cdot3,;11cdot3cdot5,;11cdot3cdot5cdot7,dotsr),
depois o termo an+1, verificar se a sequência converge e, em caso afirmativo, calcular o limite.

Passo 2

Para ver o padrão, note que cada denominador é o produto dos primeiros n números ímpares:
1,;1cdot3,;1cdot3cdot5,;dots,;1cdot3cdot5cdots(2n-1)
Logo, o termo geral é
an = 1prodk=1^n(2k-1)

Passo 3

Bastaria agora estender a mesma definição para n+1. Assim,
an+1 = 1prodk=1^n+1(2k-1) = 1(1cdot3cdot5cdots(2n-1)),(2n+1)

Passo 4

Para testar a convergência, use o teste da razão entre termos consecutivos:
an+1an = 1/l(prodk=1^n+1(2k-1)r)1/l(prodk=1^n(2k-1)r) = 12n+1
Como limntoinfty12n+1=0<1, a sequência converge.

Passo 5

Finalmente, pelo crescimento sem limite do denominador, fica claro que
limntoinftyan = 0

Resposta

an = dfrac1prodk=1^n(2k-1),
an+1 = dfrac1prodk=1^n+1(2k-1),
a sequência é convergente e
limntoinftyan = 0

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