Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em seus respectivos domínios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a função
é diferenciável no seu domínio. Estamos trabalhando com cálculo multivariável aqui, especificamente com o conceito de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as derivadas parciais e verificar se elas existem e são contínuas no domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela possui derivadas parciais nesse ponto e se essas derivadas são contínuas perto desse ponto. Então, nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
E, finalmente, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas no domínio da função. Olhando as expressões das derivadas, vemos que os denominadores
nunca são zero para quaisquer valores de
,
e
, já que todos os termos são não negativos. Além disso, os numeradores são polinômios, que são funções contínuas. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio de
.
Resposta
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo o domínio, concluímos que a função
é diferenciável em seu domínio.