Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em seus respectivos domínios.
f(x, y, z)=ln (1+x^2+y^2+z^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a função f(x, y, z) = ln (1 + x^2 + y^2 + z^2) é diferenciável no seu domínio. Estamos trabalhando com cálculo multivariável aqui, especificamente com o conceito de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as derivadas parciais e verificar se elas existem e são contínuas no domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela possui derivadas parciais nesse ponto e se essas derivadas são contínuas perto desse ponto. Então, nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de f em relação a x , y e z , e verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de f em relação a x . Usando a regra da cadeia, temos:
partial fpartial x = 11 + x^2 + y^2 + z^2 cdot 2x = 2x1 + x^2 + y^2 + z^2

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = 11 + x^2 + y^2 + z^2 cdot 2y = 2y1 + x^2 + y^2 + z^2

Passo 5

E, finalmente, a derivada parcial de f em relação a z :
partial fpartial z = 11 + x^2 + y^2 + z^2 cdot 2z = 2z1 + x^2 + y^2 + z^2

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas no domínio da função. Olhando as expressões das derivadas, vemos que os denominadores 1 + x^2 + y^2 + z^2 nunca são zero para quaisquer valores de x , y e z , já que todos os termos são não negativos. Além disso, os numeradores são polinômios, que são funções contínuas. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio de f .

Resposta

Como as derivadas parciais de f existem e são contínuas em todo o domínio, concluímos que a função f(x, y, z) = ln (1 + x^2 + y^2 + z^2) é diferenciável em seu domínio.

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