Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limi tada por um arco da curva do seno em torno do eixo
. (Sugestâo: use a identidade
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a área delimitada por um arco da curva do seno em torno do eixo
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula dos discos para volume de revolução. Além disso, vamos usar a identidade trigonométrica
para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um sólido de revolução usando a fórmula dos discos. Quando giramos uma curva
em torno do eixo
, o volume
é dado por:
Aqui,
e
são os limites de integração, que representam os pontos onde a área está delimitada.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
. Então,
e queremos encontrar:
Mas antes de seguir, precisamos definir quais são os limites
e
. Normalmente, um arco da curva do seno vai de
até
, onde a função completa um ciclo de subida e descida.
Passo 4
Vamos assumir que o arco vai de
a
. Então, substituindo na fórmula:
Agora, para facilitar a integração, vamos usar a identidade trigonométrica que foi dada:
Isso vai simplificar a integral.
Passo 5
Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente:
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido gerado é
.