Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limi tada por um arco da curva do seno em torno do eixo x. (Sugestâo: use a identidade sen^2(x) = 1/2(1 - cos(2x)).)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a área delimitada por um arco da curva do seno em torno do eixo . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula dos discos para volume de revolução. Além disso, vamos usar a identidade trigonométrica para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um sólido de revolução usando a fórmula dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo , o volume é dado por:
Aqui, e são os limites de integração, que representam os pontos onde a área está delimitada.

Passo 3

No nosso caso, a curva é . Então, e queremos encontrar:
Mas antes de seguir, precisamos definir quais são os limites e . Normalmente, um arco da curva do seno vai de até , onde a função completa um ciclo de subida e descida.

Passo 4

Vamos assumir que o arco vai de a . Então, substituindo na fórmula:
Agora, para facilitar a integração, vamos usar a identidade trigonométrica que foi dada:
Isso vai simplificar a integral.

Passo 5

Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, vamos separar a integral em duas partes:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido gerado é .

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