Nos Exercícios de 13 a 16, ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = raiz(x), pelo eixo x e pela reta x = 4.
13. a reta x = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido de revolução. A gente vai girar a região limitada por , o eixo e a reta em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que é perfeito quando a rotação é em torno de uma reta vertical.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o método dos cilindros. Esse método é útil quando a rotação é em torno de uma reta vertical ou horizontal. A ideia é dividir a região em pequenos cilindros verticais, calcular o volume de cada um e depois somar todos esses volumes usando uma integral.

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. Como estamos girando em torno de e a região vai de até , nossos limites serão de 0 a 4.

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de cada cilindro. O raio é a distância entre a reta de rotação ( ) e um ponto qualquer na região. Então, o raio é .

Passo 5

A altura de cada cilindro é dada pela função . Portanto, a altura de cada cilindro é .

Passo 6

O volume de cada cilindro é dado por . Substituindo e , temos:

Passo 7

Agora, para encontrar o volume total, integramos de até :

Passo 8

Vamos simplificar a integral. Expandindo , temos:

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:

Passo 10

Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo:

Passo 12

Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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