Nos Exercícios de 13 a 16, ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva
, pelo eixo
e pela reta
.
13. a reta
13. a reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido de revolução. A gente vai girar a região limitada por
, o eixo
e a reta
em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que é perfeito quando a rotação é em torno de uma reta vertical.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o método dos cilindros. Esse método é útil quando a rotação é em torno de uma reta vertical ou horizontal. A ideia é dividir a região em pequenos cilindros verticais, calcular o volume de cada um e depois somar todos esses volumes usando uma integral.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. Como estamos girando em torno de
e a região vai de
até
, nossos limites serão de 0 a 4.
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de cada cilindro. O raio é a distância entre a reta de rotação (
) e um ponto qualquer
na região. Então, o raio
é
.
Passo 5
A altura de cada cilindro é dada pela função
. Portanto, a altura
de cada cilindro é
.
Passo 6
O volume de cada cilindro é dado por
. Substituindo
e
, temos:
Passo 7
Agora, para encontrar o volume total, integramos
de
até
:
Passo 8
Vamos simplificar a integral. Expandindo
, temos:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Passo 10
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 11
Subtraindo:
Passo 12
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.