A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = sen x e y = cos(x) para 0 <= x <= pi/4 é girada em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado. (Sugestäo: use as seguintes identidades: sen^2(x) = 1/2(1 - cos(2x)) e cos^2(x) = 1/2(1 + cos(2x)).)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma região delimitada pelo eixo , pelas curvas e no intervalo de . O objetivo é encontrar o volume do sólido que se forma quando essa região é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, e aplicar algumas identidades trigonométricas para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais funções estão delimitando a região. Temos e . No intervalo de a , a função está acima de . Isso significa que, para cada valor de nesse intervalo, a distância entre e vai determinar a espessura do nosso disco.

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido de revolução, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, o raio externo é e o raio interno é . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral usando as identidades trigonométricas sugeridas:
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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