A região limitada pelo eixo
e pelas curvas
para
é girada em torno do eixo
. Ache o volume do sólido gerado. (Sugestäo: use as seguintes identidades:
e
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma região delimitada pelo eixo
, pelas curvas
e
no intervalo de
. O objetivo é encontrar o volume do sólido que se forma quando essa região é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, e aplicar algumas identidades trigonométricas para simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais funções estão delimitando a região. Temos
e
. No intervalo de
a
, a função
está acima de
. Isso significa que, para cada valor de
nesse intervalo, a distância entre
e
vai determinar a espessura do nosso disco.
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido de revolução, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, o raio externo é
e o raio interno é
. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral usando as identidades trigonométricas sugeridas:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.