Calcule
Justifique.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que precisamos resolver: calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Aqui estamos lidando com funções de limite, exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta conforme
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte
. Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Isso é porque a raiz quadrada de um número muito pequeno fica ainda menor, tendendo a zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Conforme
se aproxima de 0, o valor de
cresce sem limite, ou seja, vai para o infinito. O seno de um número grande como esse continua a oscilar entre -1 e 1. Isso significa que
nunca sai desse intervalo, independente de quão grande seja
.
Passo 4
Considerando isso,
irá oscilar entre
e
, já que o expoente está sempre entre -1 e 1. Portanto, o valor de
está sempre limitado e não cresce sem limite quando
se aproxima de 0.
Passo 5
Agora, combinando as duas partes da expressão
: temos uma parte que está se aproximando de 0 (
) e uma parte que está limitada entre
e
. Quando você multiplica algo que vai para 0 por algo que é limitado, o resultado também vai para 0.
Resposta
Portanto, o limite é: