Calcule
lim x 0 raizx e^sin (pix)=0
Justifique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisamos resolver: calcular o limite de quando se aproxima de 0. Aqui estamos lidando com funções de limite, exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta conforme se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte . Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Isso é porque a raiz quadrada de um número muito pequeno fica ainda menor, tendendo a zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Conforme se aproxima de 0, o valor de cresce sem limite, ou seja, vai para o infinito. O seno de um número grande como esse continua a oscilar entre -1 e 1. Isso significa que nunca sai desse intervalo, independente de quão grande seja .

Passo 4

Considerando isso, irá oscilar entre e , já que o expoente está sempre entre -1 e 1. Portanto, o valor de está sempre limitado e não cresce sem limite quando se aproxima de 0.

Passo 5

Agora, combinando as duas partes da expressão : temos uma parte que está se aproximando de 0 ( ) e uma parte que está limitada entre e . Quando você multiplica algo que vai para 0 por algo que é limitado, o resultado também vai para 0.

Resposta

Portanto, o limite é:
limx 0 raizx cdot e^sin(pix) = 0

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