Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de pelo eixo e pela reta :
A região é rotacionada em torno do eixo ;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido formado pela rotação de uma região em torno do eixo . O enunciado fala sobre a função , o eixo , e a reta vertical . Para resolver isso, vamos usar a método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender um pouquinho sobre integração e como aplicar a fórmula do volume nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. Temos a curva , o eixo e a reta . Essa região está entre e .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método nos diz que o volume do sólido de revolução é dado por:
Onde:
é uma constante (aproximadamente 3,1416)
é a função que define a borda externa da região
e são os limites de integração (nossa região vai de a )
Passo 4
Vamos identificar para o nosso caso. A função é , então:
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume, temos:
Agora, precisamos expandir o quadrado para facilitar a integração.