Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de y=3 x-x^3 pelo eixo x e pela reta x=1 :
A região é rotacionada em torno do eixo x;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido formado pela rotação de uma região em torno do eixo x . O enunciado fala sobre a função y = 3x - x^3 , o eixo x , e a reta vertical x = 1 . Para resolver isso, vamos usar a método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender um pouquinho sobre integração e como aplicar a fórmula do volume nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. Temos a curva y = 3x - x^3 , o eixo x e a reta x = 1 . Essa região está entre x = 0 e x = 1 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método nos diz que o volume V do sólido de revolução é dado por:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Onde:
  • pi é uma constante (aproximadamente 3,1416)
  • f(x) é a função que define a borda externa da região
  • a e b são os limites de integração (nossa região vai de x = 0 a x = 1 )

Passo 4

Vamos identificar f(x) para o nosso caso. A função é y = 3x - x^3 , então:
f(x) = 3x - x^3

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume, temos:
V = pi integral0^1 (3x - x^3)^2 , dx
Agora, precisamos expandir o quadrado para facilitar a integração.

Passo 6

Vamos expandir (3x - x^3)^2 :
(3x - x^3)^2 = (3x)^2 - 2 cdot 3x cdot x^3 + (x^3)^2 = 9x^2 - 6x^4 + x^6
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 (9x^2 - 6x^4 + x^6) , dx

Passo 7

Agora, integramos termo por termo:
integral0^1 9x^2 , dx = 9 cdot x^33 |0^1 = 9 cdot 13 = 3
integral0^1 -6x^4 , dx = -6 cdot x^55 |0^1 = -6 cdot 15 = -65
integral0^1 x^6 , dx = x^77 |0^1 = 17

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
3 - 65 + 17 = 10535 - 4235 + 535 = 6835

Passo 9

Multiplicamos pelo pi para obter o volume:
V = pi cdot 6835 = 68pi35

Resposta

O volume do sólido gerado é 68pi35 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados