Em cada item a seguir, econtre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
Passo 1
Beleza! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
Vamos resolver essa EDO usando o método do fator integrante. Para isso, precisamos entender que estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem, onde a fórmula geral é:
Aqui,
e
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, a gente calcula o fator integrante, que é dado por:
Esse fator nos ajuda a transformar a equação original em uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui, a esquerda é a derivada do produto
, o que facilita a integração.
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos calcular as integrais separadamente. Primeiro,
usando integração por partes:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Agora,
.
Passo 6
Substituindo as integrais de volta na equação:
Agora, isolamos
dividindo todos os termos por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária e a solução existe para todo
real.