Em cada item a seguir, econtre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
y^prime+3 y=t+e^-2 t

Passo 1

Beleza! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
y' + 3y = t + e^-2t
Vamos resolver essa EDO usando o método do fator integrante. Para isso, precisamos entender que estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem, onde a fórmula geral é:
y' + P(t)y = Q(t)
Aqui, P(t) = 3 e Q(t) = t + e^-2t . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, a gente calcula o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 3 dt = e^3t
Esse fator nos ajuda a transformar a equação original em uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) :
e^3t y' + 3e^3t y = e^3t t + e^3t e^-2t
Isso simplifica para:
ddt ( e^3t y ) = e^3t t + e^t
Aqui, a esquerda é a derivada do produto e^3t y , o que facilita a integração.

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( e^3t y ) dt = integral ( e^3t t + e^t ) dt
Isso resulta em:
e^3t y = integral e^3t t dt + integral e^t dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Vamos calcular as integrais separadamente. Primeiro, integral e^3t t dt usando integração por partes:
Seja u = t e dv = e^3t dt , então du = dt e v = e^3t3 .
Aplicando integração por partes:
integral e^3t t dt = t e^3t3 - integral e^3t3 dt = t e^3t3 - e^3t9 + C
Agora, integral e^t dt = e^t + C .

Passo 6

Substituindo as integrais de volta na equação:
e^3t y = ( t e^3t3 - e^3t9 ) + e^t + C
Agora, isolamos y dividindo todos os termos por e^3t :
y = t3 - 19 + e^-2t + C e^-3t

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = t3 - 19 + e^-2t + C e^-3t
Onde C é uma constante arbitrária e a solução existe para todo t real.

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