Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva
, pelo eixo x e pelas retas
:
A região é rotacionada em torno da reta
;
A região é rotacionada em torno da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região limitada pela curva
, pelo eixo
, e pelas retas
e
em torno da reta
. Vamos usar o método dos discos (ou anéis) para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar essa região em torno da reta
. Imagine que você tem a curva
entre
e
e está girando essa área ao redor de uma linha horizontal acima dela, que é
. Isso vai criar um sólido com formato de anéis empilhados.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar a fórmula do método dos discos (anéis):
Aqui,
é a distância da reta de rotação (
) até a linha mais distante da rotação, e
é a distância até a linha mais próxima.
Passo 4
No nosso caso:
- A linha mais distante da rotação é o eixo
, que está em . Então, . - A linha mais próxima é a curva
. Então, .
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 1 a 2:
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Subtraindo:
Resposta
Então, o volume do sólido de revolução é: