Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y=x^3, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=2 :
A região é rotacionada em torno da reta y=9;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região limitada pela curva y = x^3 , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 2 em torno da reta y = 9 . Vamos usar o método dos discos (ou anéis) para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar essa região em torno da reta y = 9 . Imagine que você tem a curva y = x^3 entre x = 1 e x = 2 e está girando essa área ao redor de uma linha horizontal acima dela, que é y = 9 . Isso vai criar um sólido com formato de anéis empilhados.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar a fórmula do método dos discos (anéis):
V = pi integrala^b [ R(x)^2 - r(x)^2 ] , dx
Aqui, R(x) é a distância da reta de rotação ( y = 9 ) até a linha mais distante da rotação, e r(x) é a distância até a linha mais próxima.

Passo 4

No nosso caso:
  • A linha mais distante da rotação é o eixo x , que está em y = 0 . Então, R(x) = 9 - 0 = 9 .
  • A linha mais próxima é a curva y = x^3 . Então, r(x) = 9 - x^3 .
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
V = pi integral1^2 [ 9^2 - (9 - x^3)^2 ] , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
9^2 = 81
(9 - x^3)^2 = 81 - 18x^3 + x^6
Substituindo de volta na integral:
V = pi integral1^2 [ 81 - (81 - 18x^3 + x^6) ] , dx
V = pi integral1^2 [ 81 - 81 + 18x^3 - x^6 ] , dx
V = pi integral1^2 [ 18x^3 - x^6 ] , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 18x^3 , dx = 18 cdot x^44 = 184x^4 = 92x^4
integral x^6 , dx = x^77
Então, a integral fica:
V = pi [ 92x^4 - x^77 ]1^2

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 1 a 2:
Primeiro, para x = 2 :
92(2)^4 - (2)^77 = 92 cdot 16 - 1287 = 72 - 1287
= 5047 - 1287 = 3767
Segundo, para x = 1 :
92(1)^4 - (1)^77 = 92 - 17 = 6314 - 214 = 6114
Subtraindo:
3767 - 6114 = 75214 - 6114 = 69114

Resposta

Então, o volume do sólido de revolução é:
V = pi cdot 69114 approx 155,5 , unidades cúbicas ú

Exercícios relacionados