Em cada item a seguir, econtre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
y^prime+2 x y=2 x e^-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo linear. O enunciado é:
y' + 2x y = 2x e^-x^2
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação em uma forma que facilite a integração e, consequentemente, a obtenção da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação linear. A equação geral de uma EDO linear de primeira ordem é:
y' + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
  • P(x) = 2x
  • Q(x) = 2x e^-x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular essa integral:
integral 2x dx = x^2
Então, o fator integrante é:
mu(x) = e^x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^x^2 y' + e^x^2 cdot 2x y = e^x^2 cdot 2x e^-x^2
Simplificando o lado direito:
e^x^2 cdot 2x e^-x^2 = 2x
Então, a equação fica:
e^x^2 y' + 2x e^x^2 y = 2x

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x) y . Ou seja:
ddx ( e^x^2 y ) = 2x
Isso acontece porque:
ddx ( e^x^2 y ) = e^x^2 y' + 2x e^x^2 y

Passo 6

Agora, podemos integrar ambos os lados da equação:
integral ddx ( e^x^2 y ) dx = integral 2x dx
Integrando o lado esquerdo, obtemos:
e^x^2 y = x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Para isolar y , dividimos ambos os lados por e^x^2 :
y = x^2 + Ce^x^2 = ( x^2 + C ) e^-x^2

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = ( x^2 + C ) e^-x^2
onde C é uma constante arbitrária. A solução existe para todo x real, ou seja, o intervalo de existência é (-infty, +infty) .

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