Em cada item a seguir, econtre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo linear. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação em uma forma que facilite a integração e, consequentemente, a obtenção da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação linear. A equação geral de uma EDO linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso acontece porque:
Passo 6
Agora, podemos integrar ambos os lados da equação:
Integrando o lado esquerdo, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária. A solução existe para todo
real, ou seja, o intervalo de existência é
.