Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de
pelo eixo
e pela reta
:
A região é rotacionada em torno da reta
;
A região é rotacionada em torno da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pela reta
é girada em torno da reta
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cascos cilíndricos, que é bem legal para calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. O gráfico de
é uma curva que cruza o eixo
nos pontos onde
. Vamos encontrar esses pontos:
Como estamos considerando
como limite, vamos focar no intervalo de
a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos cascos cilíndricos. Esse método é útil quando a rotação é em torno de uma reta vertical, como é o caso aqui (
). A ideia é imaginar a região sendo cortada em finas fatias verticais, cada uma formando um “coroa” cilíndrica quando girada.
Passo 4
Para configurar a integral, precisamos determinar dois elementos principais para cada cortesinha:
-
Raio (
): A distância de cada fatia à reta de rotação . Isso é dado por . -
Altura (
): A altura da coroa cilíndrica, que é a função .
A fórmula para o volume usando o método dos cascos cilíndricos é:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Então, avaliando de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.