Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de y=3 x-x^3 pelo eixo x e pela reta x=1 :
A região é rotacionada em torno da reta x=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelo gráfico de y = 3x - x^3 , pelo eixo x e pela reta x = 1 é girada em torno da reta x = 1 . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cascos cilíndricos, que é bem legal para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. O gráfico de y = 3x - x^3 é uma curva que cruza o eixo x nos pontos onde y = 0 . Vamos encontrar esses pontos:
3x - x^3 = 0 implies x(3 - x^2) = 0 implies x = 0 ou x = pmraiz3
Como estamos considerando x = 1 como limite, vamos focar no intervalo de x = 0 a x = 1 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos cascos cilíndricos. Esse método é útil quando a rotação é em torno de uma reta vertical, como é o caso aqui ( x = 1 ). A ideia é imaginar a região sendo cortada em finas fatias verticais, cada uma formando um “coroa” cilíndrica quando girada.

Passo 4

Para configurar a integral, precisamos determinar dois elementos principais para cada cortesinha:
  1. Raio ( r(x) ): A distância de cada fatia à reta de rotação x = 1 . Isso é dado por r(x) = 1 - x .
  2. Altura ( h(x) ): A altura da coroa cilíndrica, que é a função y = 3x - x^3 .
A fórmula para o volume usando o método dos cascos cilíndricos é:
V = 2pi integrala^b r(x) cdot h(x) , dx
Substituindo r(x) e h(x) :
V = 2pi integral0^1 (1 - x)(3x - x^3) , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 - x)(3x - x^3) = 3x(1 - x) - x^3(1 - x) = 3x - 3x^2 - x^3 + x^4
Agora, a integral fica:
V = 2pi integral0^1 (3x - 3x^2 - x^3 + x^4) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral (3x) , dx = 32x^2 integral (-3x^2) , dx = -x^3 integral (-x^3) , dx = -14x^4 integral (x^4) , dx = 15x^5
Então, avaliando de 0 a 1:
V = 2pi [ 32(1)^2 - (1)^3 - 14(1)^4 + 15(1)^5 - ( 0 ) ] V = 2pi ( 32 - 1 - 14 + 15 ) V = 2pi ( 32 - 1 = 12 12 - 14 = 14 14 + 15 = 520 + 420 = 920 ) V = 2pi cdot 920 = 18pi20 = 9pi10

Resposta

O volume do sólido gerado é 9pi10 unidades cúbicas.

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