Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de y=3 x-x^3 pelo eixo x e pela reta x=1 :
A região é rotacionada em torno da reta y=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelo gráfico da função y = 3x - x^3 , pelo eixo x (que é y = 0 ) e pela reta vertical x = 1 é girada em torno da reta y = 2 . Para isso, vamos usar o método dos discos/aneles, que envolve integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são os limites de integração. A região que vamos girar está entre x = 0 e x = 1 , porque a interseção da função y = 3x - x^3 com o eixo x (quando y = 0 ) ocorre em x = 0 e x = raiz3 , mas como estamos limitando até x = 1 , nossos limites serão desses valores.

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno da reta y = 2 , precisamos considerar a distância de cada ponto da curva até essa reta. Isso vai nos ajudar a determinar o raio externo e interno dos anéis que vamos usar para calcular o volume.

Passo 4

Vamos usar o método dos anéis, onde o volume V é dado por:
V = pi integrala^b [ (R(x))^2 - (r(x))^2 ] dx
Aqui, R(x) é a distância da curva externa até a reta de rotação, e r(x) é a distância da curva interna até a reta de rotação.

Passo 5

No nosso caso, a curva externa é a função y = 3x - x^3 e a curva interna é o eixo x (ou seja, y = 0 ). A reta de rotação é y = 2 .
Então:
R(x) = 2 - 0 = 2 (distância do eixo $ x $ até $ y = 2 $) âé
r(x) = 2 - (3x - x^3) = 2 - 3x + x^3 (distância da curva até $ y = 2 $) âé

Passo 6

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do volume:
V = pi integral0^1 [ (2)^2 - (2 - 3x + x^3)^2 ] dx
Vamos simplificar dentro da integral antes de integrar.

Passo 7

Primeiro, calculemos (2)^2 = 4 .
Agora, expandamos (2 - 3x + x^3)^2 :
(2 - 3x + x^3)^2 = 4 - 12x + 9x^2 + 4x^3 - 6x^4 + x^6
Então, temos:
V = pi integral0^1 [ 4 - (4 - 12x + 9x^2 + 4x^3 - 6x^4 + x^6) ] dx

Passo 8

Simplificando dentro da integral:
4 - 4 + 12x - 9x^2 - 4x^3 + 6x^4 - x^6 = 12x - 9x^2 - 4x^3 + 6x^4 - x^6
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 ( 12x - 9x^2 - 4x^3 + 6x^4 - x^6 ) dx

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 12x , dx = 6x^2 gr|0^1 = 6(1)^2 - 6(0)^2 = 6
integral0^1 -9x^2 , dx = -3x^3 gr|0^1 = -3(1)^3 + 3(0)^3 = -3
integral0^1 -4x^3 , dx = -x^4 gr|0^1 = -1^4 + 0^4 = -1
integral0^1 6x^4 , dx = 65x^5 gr|0^1 = 65(1)^5 - 65(0)^5 = 65
integral0^1 -x^6 , dx = -17x^7 gr|0^1 = -17(1)^7 + 17(0)^7 = -17

Passo 10

Somando todos os resultados das integrais:
6 - 3 - 1 + 65 - 17 = 2 + 65 - 17
Vamos converter tudo para ter o mesmo denominador:
2 = 7035, 65 = 4235, 17 = 535
Então,
7035 + 4235 - 535 = 10735

Resposta

O volume do sólido gerado é 10735 pi unidades cúbicas.

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