Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de pelo eixo e pela reta :
A região é rotacionada em torno da reta ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelo gráfico da função , pelo eixo (que é ) e pela reta vertical é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos/aneles, que envolve integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais são os limites de integração. A região que vamos girar está entre e , porque a interseção da função com o eixo (quando ) ocorre em e , mas como estamos limitando até , nossos limites serão desses valores.
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno da reta , precisamos considerar a distância de cada ponto da curva até essa reta. Isso vai nos ajudar a determinar o raio externo e interno dos anéis que vamos usar para calcular o volume.
Passo 4
Vamos usar o método dos anéis, onde o volume é dado por:
Aqui, é a distância da curva externa até a reta de rotação, e é a distância da curva interna até a reta de rotação.
Passo 5
No nosso caso, a curva externa é a função e a curva interna é o eixo (ou seja, ). A reta de rotação é .
Então:
Passo 6
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do volume:
Vamos simplificar dentro da integral antes de integrar.