Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
integral0^2 x(x^2-1)^3 d x
R: 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral definida usando o método de substituição. O enunciado é:
integral0^2 x(x^2-1)^3 , dx
Vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-a em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Olha só, dentro da integral, temos (x^2 - 1)^3. Vamos chamar esse termo de u. Então:
u = x^2 - 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando a derivada:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que:
x , dx = du2

Passo 4

Vamos substituir u e x , dx na integral original. Ficando assim:
integral0^2 x(x^2-1)^3 , dx = integral x cdot u^3 , dx = integral u^3 cdot du2 = 12 integral u^3 , du

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em termos de u:
12 integral u^3 , du = 12 cdot u^44 + C = u^48 + C
Mas como estamos tratando de uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração. Precisamos converter os limites de x para u:
Quando x = 0:
u = (0)^2 - 1 = -1
Quando x = 2:
u = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3

Passo 6

Agora, substituímos u e aplicamos os limites:
18 [ u^4 ]-1^3 = 18 (3^4 - (-1)^4) = 18 (81 - 1) = 808 = 10

Resposta

O valor da integral é 10.

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