Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
integral0^1 x raiz5 x^2+4 d x
R: 19/15

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de 0 a 1 de x raiz5x^2 + 4 , dx. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular. Observando a expressão dentro da raiz, 5x^2 + 4, é uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:
u = 5x^2 + 4

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial du em termos de dx. Derivando ambos os lados em relação a x:
du = 10x , dx
Isso significa que:
x , dx = du10

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de u:
integral0^1 x raiz5x^2 + 4 , dx = integralu(0)^u(1) raizu cdot du10

Passo 5

Em seguida, calculamos os novos limites de integração:
  • Quando x = 0:
u = 5(0)^2 + 4 = 4
  • Quando x = 1:
u = 5(1)^2 + 4 = 9
Então, a integral passa a ser:
110 integral4^9 raizu , du

Passo 6

Vamos agora integrar raizu. Sabemos que:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Aplicando isso na nossa integral:
110 cdot 23 [ u^3/2 ]4^9 = 115 ( 9^3/2 - 4^3/2 )

Passo 7

Finalmente, calculamos 9^3/2 e 4^3/2:
9^3/2 = ( raiz9 )^3 = 3^3 = 27
4^3/2 = ( raiz4 )^3 = 2^3 = 8
Substituindo esses valores:
115 (27 - 8) = 1915

Resposta

A integral vale 1915.

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