Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de pelo eixo e pela reta :
A região é rotacionada em torno da reta ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pela reta , girando tudo ao redor da reta . Vamos usar cálculo, especificamente o método dos cilindros (ou métodos de integração) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual método utilizar. Como estamos girando em torno de uma linha vertical () e nossa função está em termos de , o método dos cilindros é o mais indicado. Esse método envolve integrar a circunferência de cada “cilindro” gerado pela rotação.
Passo 3
Vamos visualizar a região: temos o gráfico de , o eixo (que é ) e a reta . Estamos interessados em de 0 a 1.
Passo 4
A fórmula do volume pelo método dos cilindros é:
Onde:
é a distância da função até o eixo de rotação.
é a altura do cilindro, que, nesse caso, é .
Passo 5
Vamos determinar . Como estamos girando em torno de , e nosso ponto de rotação é , é a distância horizontal entre e :