Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de y=3 x-x^3 pelo eixo x e pela reta x=1 :
A região é rotacionada em torno da reta x=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelo gráfico de y = 3x - x^3 , pelo eixo x e pela reta x = 1 , girando tudo ao redor da reta x = 2 . Vamos usar cálculo, especificamente o método dos cilindros (ou métodos de integração) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual método utilizar. Como estamos girando em torno de uma linha vertical ( x = 2 ) e nossa função está em termos de x , o método dos cilindros é o mais indicado. Esse método envolve integrar a circunferência de cada “cilindro” gerado pela rotação.

Passo 3

Vamos visualizar a região: temos o gráfico de y = 3x - x^3 , o eixo x (que é y = 0 ) e a reta x = 1 . Estamos interessados em x de 0 a 1.

Passo 4

A fórmula do volume pelo método dos cilindros é:
V = 2pi integrala^b (R(x)) cdot h(x) , dx
Onde:
  • R(x) é a distância da função até o eixo de rotação.
  • h(x) é a altura do cilindro, que, nesse caso, é y = 3x - x^3 .

Passo 5

Vamos determinar R(x) . Como estamos girando em torno de x = 2 , e nosso ponto de rotação é x = 2 , R(x) é a distância horizontal entre x e 2 :
R(x) = |2 - x|
Como x varia de 0 a 1, R(x) = 2 - x .

Passo 6

Agora, substituímos R(x) e h(x) na fórmula do volume:
V = 2pi integral0^1 (2 - x)(3x - x^3) , dx

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(2 - x)(3x - x^3) = 2 cdot 3x + 2 cdot (-x^3) - x cdot 3x + x cdot x^3 = 6x - 2x^3 - 3x^2 + x^4
Então, a integral fica:
V = 2pi integral0^1 (6x - 2x^3 - 3x^2 + x^4) , dx

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 6x , dx = 3x^2 |0^1 = 3(1)^2 - 3(0)^2 = 3
integral0^1 -2x^3 , dx = -24x^4 |0^1 = -12(1)^4 + 12(0)^4 = -12
integral0^1 -3x^2 , dx = -x^3 |0^1 = -1 + 0 = -1
integral0^1 x^4 , dx = 15x^5 |0^1 = 15 - 0 = 15

Passo 9

Somando todas as integrais:
3 - 12 - 1 + 15 = 3 - 1 = 2 - 12 + 15 = 42 - 12 + 15 = 32 + 15 = 1510 + 210 = 1710

Passo 10

Multiplicando pela constante 2pi :
V = 2pi cdot 1710 = 34pi10 = 17pi5

Resposta

O volume do sólido gerado é 17pi5 unidades cúbicas.

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