Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de
pelo eixo
e pela reta
:
A região é rotacionada em torno da reta
;
A região é rotacionada em torno da reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno da reta
. A região está limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
(que é
) e pela reta
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar melhor. A função
corta o eixo
quando
. Vamos descobrir esse ponto:
Como estamos limitando pela reta
, nosso intervalo de interesse é de
a
.
Passo 3
Agora, para usar o método dos discos, precisamos determinar dois raios:
- Raio maior (
): a distância da reta de rotação até a parte de cima da região, que aqui é sempre a reta até , então . - Raio menor (
): a distância da reta de rotação até a curva , ou seja, .
Passo 4
A área de um disco com furo (como se tivesse um círculo maior e um menor) é dada por:
Substituindo nossos raios:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume, somando essas áreas de
a
:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada termo:
Vamos somar esses valores:
Então,
Resposta
O volume do sólido gerado é aproximadamente
unidades cúbicas.