Ache o volume do sólido gerado pela rotação, da região limitada pelo gráfico de y=3 x-x^3 pelo eixo x e pela reta x=1 :
A região é rotacionada em torno da reta y=3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno da reta y = 3 . A região está limitada pelo gráfico de y = 3x - x^3 , pelo eixo x (que é y = 0 ) e pela reta x = 1 . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar melhor. A função y = 3x - x^3 corta o eixo x quando y = 0 . Vamos descobrir esse ponto:
3x - x^3 = 0 implies x(3 - x^2) = 0 implies x = 0 ou x = raiz3
Como estamos limitando pela reta x = 1 , nosso intervalo de interesse é de x = 0 a x = 1 .

Passo 3

Agora, para usar o método dos discos, precisamos determinar dois raios:
  • Raio maior ( R ): a distância da reta de rotação y = 3 até a parte de cima da região, que aqui é sempre a reta y = 3 até y = 0 , então R = 3 - 0 = 3 .
  • Raio menor ( r ): a distância da reta de rotação y = 3 até a curva y = 3x - x^3 , ou seja, r = 3 - (3x - x^3) = 3 - 3x + x^3 .

Passo 4

A área de um disco com furo (como se tivesse um círculo maior e um menor) é dada por:
Área = pi(R^2 - r^2) Á
Substituindo nossos raios:
Área = pi(3^2 - (3 - 3x + x^3)^2) Á

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume, somando essas áreas de x = 0 a x = 1 :
V = integral0^1 pi[3^2 - (3 - 3x + x^3)^2] , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(3 - 3x + x^3)^2 = 9 - 18x + 9x^2 + 6x^3 - 6x^4 + x^6
Substituindo de volta na integral:
V = pi integral0^1 [9 - (9 - 18x + 9x^2 + 6x^3 - 6x^4 + x^6)] , dx
Isso simplifica para:
V = pi integral0^1 [18x - 9x^2 - 6x^3 + 6x^4 - x^6] , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
V = pi [ 18x^22 - 9x^33 - 6x^44 + 6x^55 - x^77 ]0^1
Calculando cada termo:
V = pi [ 9(1)^2 - 3(1)^3 - 32(1)^4 + 65(1)^5 - 17(1)^7 ]
V = pi [ 9 - 3 - 32 + 65 - 17 ]
Vamos somar esses valores:
9 - 3 = 6 6 - 32 = 92 92 + 65 = 4510 + 1210 = 5710 5710 - 17 = 39970 - 1070 = 38970
Então,
V = pi times 38970 approx 389pi70 unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do sólido gerado é aproximadamente 38970 pi unidades cúbicas.

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